Enunciado

Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y " + 2 y ' + y = 0 ?

  1. y = e t
  2. y = e - t
  3. y = t e - t
  4. y = t 2 e - t

Passo 1

  1. Queremos ver se y = e t é solução da equação y " + 2 y ' + y = 0 . Então vamos derivar y e aplicar na equação.
  2. y = e t

    y ' = e t

    y " = e t

    y " + 2 y ' + y = 0

    e t + 2 e t + e t = 0

    4 e t = 0

    Perceba que e t nunca será igual a 0, apesar de se aproximar bastante quando t → - ∞ .

    Sendo assim , y = e t é solução da equação somente quando t → - ∞ , e não para qualquer número real t . Então y = e t não é solução.

    Passo 2

  3. Agora queremos verificar se y = e - t é solução da equação y " + 2 y ' + y = 0 . Assim como no item (a), vamos derivar y e substituir na equação.
  4. y = e - t

    y ' = - e - t

    y " = e - t

    y " + 2 y ' + y = 0

    e - t - 2 e - t + e - t = 0

    0 = 0

    Como o resultado da equação não depende de t , então concluímos que y = e - t é solução.

    Passo 3

  5. Precisamos descobrir se y = t e - t é solução da equação diferencial y " + 2 y ' + y = 0 .
  6. y = t e - t

    y ' = e - t - t e - t

    y " = - e - t - ( e - t - t e - t )

    y " = - 2 e - t + t e - t

    Substituindo...

    y " + 2 y ' + y = 0

    - 2 e - t + t e - t + 2 e - t - 2 t e - t + t e - t = 0

    - 2 e - t + 2 t e - t + 2 e - t - 2 t e - t = 0

    0 = 0

    Como essa equação não depende de nenhuma variável, y = t e - t é solução.

    Passo 4

  7. Queremos saber se y = t 2 e - t é solução da equação diferencial y " + 2 y ' + y = 0 . Assim, podemos fazer da mesma maneira que nos outros itens.

y = t 2 e - t

y ' = 2 t e - t - t 2 e - t

y " = 2 e - t - 2 t e - t - 2 t e - t + t 2 e - t  

y " = 2 e - t - 4 t e - t + t 2 e - t  

Substituindo...

y " + 2 y ' + y = 0

2 e - t - 4 t e - t + t 2 e - t + 4 t e - t - 2 t 2 e - t + t 2 e - t = 0

2 e - t = 0

Note que e - t > 0 sempre, apesar de se aproximar bastante quando t → ∞ . Portanto a igualdade 2 e - t = 0 só será verdadeira quando t → ∞ . Então y = t 2 e - t não é solução.

Resposta

São soluções para a EDO dada os itens (b) e (c).

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