Enunciado

  1. Mostre que cada membro da família de funções y = C e x 2 2 é uma solução da equação diferencial y ' = x y .
  2. Ilustre a parte (a) traçando vários membros da família de soluções na mesma tela.
  3. Encontre a solução da equação diferencial y ' = x y   que satisfaça a condição inicial y 0 = 5 .
  4. Encontre a solução da equação diferencial y ' = x y que satisfaça a condição inicial y 1 = 2 .

Passo 1

  1. Queremos mostrar que y = C e x 2 2 é solução de y ' = x y . Então vamos derivar a função de y e substituir na EDO.
  2. y = C e x 2 2

    y ' = x C e x 2 2

    Substituindo...

    y ' = x y

    x C e x 2 2 = x C e x 2 2  

    Passo 2

  3. Passo 3

  4. Queremos encontrar uma solução de y ' = x y   tal que y 0 = 5
  5. Vimos no item (a) que y = C e x 2 2 é uma solução, portanto basta olharmos para a condição inicial.

    y 0 = C e 0 2 2 = 5

    C = 5

    Então encontramos y = 5 e x 2 2 como solução do problema de valor inicial.

    Passo 4

  6. Precisamos encontrar uma solução de y ' = x y tal que y 1 = 2

Sabemos do item (a) que y = C e x 2 2 é uma solução, então vamos analisar a condição inicial.

y 1 = C e 1 / 2 = 2

C = 2 e 1 / 2

Portanto, uma solução encontrada é y = 2 e 1 / 2   e x 2 2

Resposta

(c) y = 5 e x 2 2

(d) y = 2 e 1 / 2   e x 2 2

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