Enunciado

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Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas e ao redor das retas especificadas.

2 x + 3 y = 6             ,           y - 1 2 = 4 - x ; a o   r e d o r   d e   x = - 5

Passo 1

Vamos pegar uma região definida entre duas cuvas, e então girar ela em torno de uma reta. Nosso objetivo é calcular o volume do sólido produzido por essa rotação.

Se estivéssemos girando uma única curva C ( y ) em torno de uma reta vertical em x R , a fórmula para esse volume seria a seguinte:

V 1 = π ∫ a b C 1 y - x R 2   d y

E se a reta é horizontal, fazemos o mesmo para C 1 ( x ) , y R e d x .

Agora, quando falamos da área entre duas curvas, só precisamos fazer a diferença entre os dois volumes:

V = V 1 - V 2

V = π ∫ a b C 1 y - x R 2 - C 2 y - x R 2   d y

Onde a e b serão os pontos em que as curvas se intersectam.

Passo 2

Vamos começar encontrando as funções C 1 e C 2 :

2 x + 3 y = 6         ⇒         x = 6 - 3 y 2

y - 1 2 = 4 - x         ⇒     x = 4 -   y - 1 2

E para encontrar os limites a e b , temos que achar os pontos em que as curvas se intersectam:

6 - 3 y 2 = 4 -   y - 1 2

8 - 2 y - 1 2 - 6 + 3 y = 0

- 2 y 2 + 7 y = 0

Considerando y ≠ 0 e dividindo por y :

y 7 - 2 y

Então as soluções são:

y = 0

y = 7 2

Passo 3

Então, como x R = - 5 , é só substituir na fórmula:

V = π ∫ 0 7 2 4 -   y - 1 2 - - 5 2 - 6 - 3 y 2 - - 5 2   d y

V = π ∫ 0 7 2 9 - y - 1 2 2 - 8 - 3 y 2 2   d y

Resposta

O volume será dado pela seguinte integral: V = π ∫ 0 7 2 9 - y - 1 2 2 - 8 - 3 y 2 2   d y .

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