Enunciado

Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.

y ' ' + 2 y ' + 10 y = x ² e - x c o s ⁡ ( 3 x )

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 2 y ' + 10 y = 0

E a equação característica associada é:

k 2 + 2 k + 10 = 0

A solução é dada pela fórmula de Bháskara:

k = - ( 2 ) ± ( 2 ) 2 - 4.1 . 10 2.1 = - 2 ± - 36 2 = - 2 ± 6 i 2 ∴ k = - 1 ± 3 i

As raízes são complexas do tipo k = α ± β i a solução é:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Beleza? Aqui temos α = - 1 e β = 3 . Vamos substituir os valores encontrados?

y h x = e - x c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 s e n 3 x

Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = x ² e - x c o s ⁡ ( 3 x ) , é um polinômio de segunda ordem vezes uma exponencial e um cosseno ( p 2 e - x c o s ⁡ ( 3 x ) ) , e a parte e - x c o s ⁡ ( 3 x ) faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser o mesmo tipo de função multiplicado por x pois assim teremos uma solução L.I:

y p x = x A x 2 + B x + C e - x s e n 3 x + x D x 2 + E x + F e - x c o s ( 3 x )

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y p x = x A x 2 + B x + C e - x s e n 3 x + x D x 2 + E x + F e - x c o s ( 3 x )

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