Enunciado

Quando o esquecimento é levado em conta,a taxa de memorização de uma pessoa é dada por:

d A d t = k 1 M - A - k 2 A

Em que k 1 > 0 , k 2 > 0 . A t é a quantidade de material memorizada no instante t , M é a quantidade total a ser memorizada e M - A é a quantidade restante a ser memorizada. Encontre A t e esboce um gráfico da solução. Suponha A 0 = 0 . Calcule o valor limite de A quando t → ∞ e interprete o resultado.

Passo 1

Então galera, o objetivo dessa questão é, basicamente, resolvermos a equação diferencial que nos foi dado, tudo bem? A equação é a seguinte:

d A d t = k 1 M - A - k 2 A

Reescrevendo essa equação, teremos:

d A d t = k 1 M - k 1 A - k 2 A

d A d t = k 1 M - A k 1 + k 2

d A d t + k 1 + k 2 A = k 1 M

O formato dessa equação é:

d A d t + P . t = Q

No qual P e Q são funções APENAS de t . Esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

A = e - ∫ P d t . ∫ e ∫ P d t . Q d t + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

Da nossa equação tiramos que:

P t = k 1 + k 2

Q t = k 1 M

Passo 3

Sustituindo o que encontramos na nossa solução, teremos:

A = e - ∫ k 1 + k 2 d t . k 1 M ∫ e ∫ k 1 + k 2 d t d t + c

Resolvendo a integral do expoente:

∫ k 1 + k 2 d t = k 1 + k 2 t

Substituindo na solução:

A = e - k 1 + k 2 t . k 1 M ∫ e k 1 + k 2 t d t + c

Agora resolvendo a integral de dentro:

∫ e k 1 + k 2 t d t = 1 k 1 + k 2 e k 1 + k 2 t

Substituindo, teremos:

A = e - k 1 + k 2 t . k 1 M . 1 k 1 + k 2 e k 1 + k 2 t + c

Simplificando:

A = k 1 M k 1 + k 2 + c e k 1 + k 2 t

Show!

Passo 4

A princípio resolvemos nossa equação diferencial, no entanto a questão nos dá uma condição inicial para determinarmos c . Aplicando a condição A 0 = 0 , teremos:

0 = k 1 M k 1 + k 2 + c e 0

∴ c = - k 1 M k 1 + k 2

Substituindo na solução:

A = k 1 M k 1 + k 2 - k 1 M k 1 + k 2 . 1 e k 1 + k 2 t

E esse é nosso resultado final!

Passo 5

O enunciado ainda nos pede duas coisas antes de finalizar a questão: que plotemos o gráfico da função e que façamos uma análise para t → ∞ . Então bora que bora!

Para t → ∞ teremos o seguinte resultado:

A = k 1 M k 1 + k 2 - k 1 M k 1 + k 2 . 1 ∞

A = k 1 M k 1 + k 2 - k 1 M k 1 + k 2 . 0

A = k 1 M k 1 + k 2

O resultado nos mostra que nunca conseguiremos memorizar completamente o conteúdo estudado. O gráfico da nossa função é o seguinte:

E está aí nossa resposta, galeris! 😉

Resposta

A = k 1 M k 1 + k 2 - k 1 M k 1 + k 2 . 1 e k 1 + k 2 t

Para t → ∞ : A = k 1 M k 1 + k 2

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