Enunciado

Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ >   0 , ache um   δ >   0 tal que se 0 < x - a < δ   , então f ( x ) - L < ϵ .

lim x → 3 ⁡ 2 x - 5 = 1

Passo 1

A exigência da Definição 2.1.1 é a de que 2 x - 5 seja definida para qualquer número de algum intervalo aberto que contenha 3 , mas não necessariamente definida para quando x = 3 . O polinômio 2 x - 5 está definido para todos os números reais, então podemos usar qualquer intervalo aberto que contenha 3. Assim agora vamos aplicar a Definição 2.1.1.

Se 0 < x - 3 < δ   , então 2 x - 5 - 1 < ϵ

Se 0 < x - 3 < δ   , então 2 x - 6 < ϵ

Passo 2

Agora vamos fazer algumas manipulações na seguinte desigualdade 2 x - 6 < ϵ . Vamos por o número 2 em evidência e depois dividir toda a expressão por 2.

2 ( x - 3 ) < ϵ

2 ( x - 3 ) < ϵ ∙ 1 2

x - 3 < 1 2 ϵ

Se x - 3 < 1 2 ϵ equivale a 2 ( x - 3 ) < ϵ , então podemos dizer que

Se 0 < x - 3 < δ   , então x - 3 < 1 2 ϵ

Passo 3

Agora nossa afirmativa indica que 1 2 ϵ é um δ satisfatório. Tendo essa escolha de δ e manipulando a expressão multiplicando-a por 2 temos o seguinte argumento:

0 < x - 3 < δ

0 < x - 3 < δ ∙ 2

0 < 2 x - 3 < 2 δ

0 < 2 x - 6 < 2 δ

0 < 2 x - 6 < ϵ , pois 1 2 ϵ =   δ

Como podemos estabelecer 1 2 ϵ =   δ , a afirmativa da Definição 2.1.1 é verdadeira e isso prova que lim x → 3 ⁡ 2 x - 5 = 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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