Enunciado

Estabeleça, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inercia em relação ao eixo z.

O hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,   z ≥ 0 ; ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

  1. Vamos montar nossa integral tripla a partir do sólido:
  2. m = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y

    Passo 2

  3. O centro de massa é dado por:
  4. x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

    Onde

    M y z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y

    M x z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 y x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y

    M x y = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y

    Passo 3

  5. E o momento de inércia é dado por:

I z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 1 + x + y + z d z d x d y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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