Enunciado

Expresse a integral ∭ E f x , y , z d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o solido limitado pelas superfícies dada.

z = 0 ,   x = 0 ,   y = 2 ,   z = y - 2 x

Passo 1

Vamos olhar o sólido por todos os planos:

Passo 2

Se D 1 ,   D 2 ,   D 3 são as projeções de E nos planos, x y , y z e x z , então

D 1 = x , y 0 ≤ x ≤ 1 , 2 x ≤ y ≤ 2 = x , y 0 ≤ y ≤ 2,0 ≤ x ≤ y 2

D 2 = { ( y , z ) | 0 ≤ y ≤ 2,0 ≤ z ≤ y }   = { ( y , z ) | 0 ≤ z ≤ 2 , z ≤ y ≤ 2 }

D 3 = x , z 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ z ≤ 2 ≤ 2 x = x , z 0 ≤ z ≤ 2,0 ≤ x ≤ 2 - z 2

Assim sendo,

E = x , y , z 0 ≤ x ≤ 1 ,   2 x ≤ y ≤ 2,0 ≤ z ≤ y - 2 x = x , y , z 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ y 2 , 0 ≤ z ≤ y - 2 x =   { ( x , y , z ) | 0 ≤ z ≤ 2 , z ≤ y ≤ 2,0 ≤ x ≤ ( y - z ) / 2 } =   { ( x , y , z ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ z ≤ 2 - 2 x , z + 2 x ≤ y ≤ 2 } =   { ( x , y , z ) | 0 ≤ z ≤ 2,0 ≤ x ≤ ( 2 - z ) / 2 , z + 2 x ≤ y ≤ 2 }

Passo 3

Então, vamos montar nossa integral tripla:

∭ E f x , y , z d V = ∫ 0 1 ∫ 2 x 2 ∫ 0 y - 2 x f x , y , z d z d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 y / 2 ∫ 0 y - 2 x f x , y , z d z d x d y = ∫ 0 2 ∫ 0 y ∫ 0 ( y - z ) / 2 f x , y , z d x d z d y = ∫ 0 2 ∫ z 2 ∫ 0 ( y - z ) / 2 f x , y , z d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x ∫ z + 2 x 2 f x , y , z d y d z d x = ∫ 0 2 ∫ 0 ( 2 - z ) / 2 ∫ z + 2 x 2 f x , y , z d y d x d z

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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