Enunciado

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,   b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f   ( x )   =   x 2 . Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n   =   10 ,   50 e 100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n   =   2 ,   5   e   10 retângulos.

  f ( x )   =   s e n   x ;   [ a ,   b ]   =   [ 0 ,   π ]

Passo 1

Já que vamos usar o método dos retângulos para calcular a área, vamos começar subdividindo o intervalo [ 0 ,   π ] em n subintervalos iguais, cada um, portanto, com comprimento de 1 / n ; as extremidades dos subintervalos ocorrem em:

0 , π n , 2 π n , 3 π n ,   …   , n - 1 π n ,   π

Então no intervalo dado vai ficar mais ou menos assim:

Passo 2

A área do triângulo é b a s e a l t u r a 2 , sendo que a base de todos eles vai ser π n   pois dividimos o intervalo de tamanho π em 1 / n pedacinhos. E a altura vai ser exatamente o f ( x ) naquele ponto, ou seja, dado que f x = s e n   x ,     as alturas serão:

s e n π n ,   s e n 2 π n   , s e n 3 π n ,   …   ,   s e n n - 1 π n ,   s e n   π

Como todas as bases dos retângulos são iguais, temos então que a área total é:

A t o t a l = s e n π n +   s e n 2 π n + s e n 3 π n +   … +   s e n n - 1 π n +   s e n   π   π n  

Passo 3

Para n = 2 :

A t o t a l = s e n π 2 +   s e n   π   π 2 = 1,57080

Para n = 5 :

A t o t a l = s e n π 5 +   s e n 2 π 5 + s e n 3 π 5 +   s e n 4 π 5 +   s e n   π   π 5 = 1,93376

Para n = 10 :

A t o t a l = s e n π 10 +   s e n 2 π 10 + s e n 3 π 10 +   … +   s e n 9 π 10 +   s e n   π   π 10 = 1,98352

Para n = 50

A t o t a l = s e n π 50 +   s e n 2 π 50 + s e n 3 π 50 +   … +   s e n   π   π 50 = 1,99935

Para n = 100 :

A t o t a l = s e n π 100 +   s e n 2 π 100 + s e n 3 π 100 +   … +   s e n   π   π 100 = 1,99984

Resposta

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Seria bom se as médias dos valores das funções integráveis obedecessem às regras a seguir em um intervalo [ a ,b ] . Será que essas regras são válidas? Justifique sua resposta.c. M é d i a ( f ) ≤ M é
Use as regras na Tabela 5.4 e as Equações 1-3 para calcular as integrais dos Exercícios 41-50.48. ∫ 1 2 1 24 u ² d u ²