Enunciado

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,   b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x )   =   x 2 . Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n   =   10 ,   50 e 100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n   =   2 ,   5 e 10 retângulos.

f x = e x ; a , b = [ - 1,1 ]

Passo 1

Cara, ele já deu a dica do esquema que a gente tem que usar. É só seguir o passo a passo do exemplo da teoria para aproximar a área como uma soma de n retângulos.

Vem ver como isso fica para nossa função.

Passo 2

A primeira coisa é dividir o nosso intervalo em n intervalos iguais e menores. Nosso intervalo é

[ - 1,1 ]

O comprimento dele é

1 - - 1 = 2

Dividindo 2 por n , ficamos com

2 n

Esse vai ser o comprimento de cada subintervalo. E as extremidades direitas de cada intervalo ficam em

x =   - 1 + 2 n ,   - 1 + 4 n ,   - 1 + 6 n , … , - 1 + 2 n - 1 n ,   1

A gente sai de - 1 e vai somando 2 / n até chegar em 1 . Repara que - 1 não é uma extremidade direita do nosso subintervalo, então a gente não conta com ele.

Passo 3

Agora está na hora de construir os retângulos em cada intervalo. Vamos usar os valores de x para isso. Como nossa função é e x . As alturas serão os valores dessa função em cada extremidade x de intervalo:

f x = e - 1 + 2 n ,   e - 1 + 4 n ,   e - 1 + 6 n , … , e - 1 + 2 n - 1 n , e

Usando propriedade de potência:

f x = e - 1 ⋅ e 2 n ,   e - 1 ⋅ e 4 n ,   e - 1 ⋅ e 6 n , … , e - 1 ⋅ e 2 n - 1 n , e

Então, cada retângulo tem essas alturas f ( x ) e largura 2 / n (comprimento do subintervalo).

Passo 4

A área que a gente quer calcular vai ser a soma de todos esses retângulos de área 2 n ⋅ f x   :

A n = 2 n e - 1 ⋅ e 2 n +   e - 1 ⋅ e 4 n +   e - 1 ⋅ e 6 n + … + e - 1 ⋅ e 2 n - 1 n + e

Passo 5

Agora é só substituir os valores que de n que ele pede.

Para n = 2 :

A 2 = 2 2 e - 1 ⋅ e 1 + e = 1 + e = 3,71828

Para n = 5 :

A 5 = 2 5 e - 1 ⋅ e 2 5 + e - 1 ⋅ e 4 5 + e - 1 ⋅ e 6 5 + e - 1 ⋅ e 8 5 + e = 2,85713

Para n = 10 :

A 10 = 0,2   e - 1 ⋅ e 0,2 + e - 1 ⋅ e 0,4 + e - 1 ⋅ e 0,6 + … + e - 1 ⋅ e 1,8 + e

A 10 = 2,59327

Usando a mesma fórmulinha para n = 50 e n = 100 (e um programinha de computador para fazer as continhas):

A 50 = 2,39772

A 100 = 2,37398

Resposta

A 2 = 3,71828

A 5 = 2,85713

A 10 = 2,59327

A 50 = 2,39772

A 100 = 2,37398

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