Enunciado

  1. Estime a área sob o gráfico de f x = sen ⁡ x de x = 0 a x = π 2 usando quatro retângulos aproximados e pontos finais direitos. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é subestimada ou superestimada?
  2. Repita a parte (a) usando os pontos finais esquerdos.

Passo 1

  1. Vamos lá, vamos encontrar uma estimativa usando pontos finais direitos, como vamos usar 4 retângulos temos que n = 4 , assim:
  2. R 4 = ∑ i = 1 4 f x i ∆ x

    Temos que:

    ∆ x = b - a n

    Aqui nós sabemos que a e b são os limites de integração, assim:

    ∆ x = b - a n = π 2 - 0 4 = π 8

    Vamos calcular o somatório:

    R 4 = ∑ i = 1 4 f x i ∆ x = sen ⁡ π 8 + sen ⁡ π 4 + sen ⁡ 3 π 8 + sen ⁡ π 2 ⋅ π 8 = 1,183 5

    Temos o esboço do gráfico:

    Como f é crescente em 0 , π 2 , temos uma estimativa superestimada usando a aproximação e pontos finais direitos.

    Passo 2

  3. Vamos lá, vamos encontrar uma estimativa usando pontos finais esquerdos, como vamos usar 4 retângulos temos que n = 4 , assim:

L 4 = ∑ i = 1 4 f x i - 1 ∆ x

Temos que:

∆ x = b - a n

Aqui nós sabemos que a e b são os limites de integração, assim:

∆ x = b - a n = π 2 - 0 4 = π 8

Vamos calcular o somatório:

L 4 = ∑ i = 1 4 f x i - 1 ∆ x = sen ⁡ 0 + sen ⁡ π 8 + sen ⁡ π 4 + sen ⁡ 3 π 8 ⋅ π 8 = 0 , 7908

Temos o esboço do gráfico:

Como f é crescente em 0 , π 2 , temos uma estimativa subestimada usando a aproximação e pontos finais esquerdos.

Resposta

  1. R 4 = 1,1835
  2. L 4 = 0,7908
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