Enunciado

  1. Ao ler os valores do gráfico dado de f , use cinco retângulos para induzir uma estimativa mais baixa e uma estimativa mais alta para a área sob o gráfico dado de f de x = 0 a x = 10 . Em cada caso, esboce os retângulos que você usar.
  2. Encontre novas estimativas usando dez retângulos em cada caso.

Passo 1

  1. Vamos lá, vemos na figura que o gráfico de f é decrescente, assim vamos encontrar uma estimativa mais baixa usando pontos finais direitos, como vamos usar 5 retângulos temos que n = 5 , assim:
  2. R 5 = ∑ i = 1 5 f x i ∆ x

    Temos que:

    ∆ x = b - a n

    Aqui nós sabemos que a e b são os limites de integração, assim:

    ∆ x = b - a n = 10 - 0 5 = 2

    Vamos calcular o somatório:

    R 5 = ∑ i = 1 5 f x i ∆ x = f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 + f x 5 ⋅ 2 =

    = f 2 + f 4 + f 6 + f 8 + f 10 ⋅ 2 = 3,2 + 1,8 + 0,8 + 0,2 + 0 ⋅ 2 = 12

    Aqui temos o esboço dos retângulos:

    Passo 2

    Agora como vemos na figura que o gráfico de f é decrescente, vamos encontrar uma estimativa mais alta usando pontos finais esquerdos, como vamos usar 5 retângulos temos que n = 5 , assim:

    L 5 = ∑ i = 1 5 f x i - 1 ∆ x

    Temos que:

    ∆ x = b - a n

    Aqui nós sabemos que a e b são os limites de integração, assim:

    ∆ x = b - a n = 10 - 0 5 = 2

    Vamos calcular o somatório:

    L 5 = ∑ i = 1 5 f x i - 1 ∆ x = f x 0 + f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 ⋅ 2 =

    = f 0 + f 2 + f 4 + f 6 + f 8 ⋅ 2 = 5 + 3,2 + 1,8 + 0,8 + 0,2 ⋅ 2 = 22

    Aqui temos o esboço dos retângulos:

    Passo 3

  3. Vamos achar agora com n = 10 , assim:

R 10 = ∑ i = 1 10 f x i ∆ x

Temos que:

∆ x = b - a n

Aqui nós sabemos que a e b são os limites de integração, assim:

∆ x = b - a n = 10 - 0 10 = 1

Vamos calcular o somatório:

R 10 = ∑ i = 1 10 f x i ∆ x = f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 + f x 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + f x 10 ⋅ 1 =

= f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + f 10 ⋅ 1 = 4 + 3,2 + 2,5 + 1,8 + 1,3 + 0,8 + 0,5 + 0,2 + 0,1 + 0 ⋅ 1 = 14,4

Aqui temos o esboço dos retângulos:

Passo 2

Vamos calcular o somatório de L 10 :

L 10 = ∑ i = 1 10 f x i - 1 ∆ x = f 0 + f 1 + f 2 + f 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + f 9 ⋅ 1 = R 10 + f 0 - f 10 ⋅ 1 = 14,4 + 5 - 0 ⋅ 1 = 19,4

Aqui temos o esboço dos retângulos:

Resposta

  1. R 5 = 12 e L 5 = 22
  2. R 10 = 14,4 e L 10 = 19,4
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