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Estime o número mínimo de subintervalos necessários para aproximar a integral:

∫ - 1 1 cos ⁡ ( x + π ) d x

com um erro de magnitude inferior a 10 - 4 através da:

  1. Regra do trapézio
  2. Regra de Simpson

Passo 1

A integral numérica serve para que calculemos a solução de uma integral cuja primitiva não tem forma elementar. Para isso, dividimos o intervalo dado em subintervalos e aplicamos regras que aproximem o resultado para o valor real da integral. Para sabermos quantos subintervalos são necessários, usamos as seguintes equações:

  1. Para o critério de parada da regra do trapézio temos a equação:
  2. E T ≤ M b - a 3 12 n 2

    Sendo M = f ' ' c , estando c contido no intervalo, [ a ,   b ] os limites do intervalo e n o número de subintervalos. Para descobrirmos o número de subintervalos, substituímos a condição que: E T < 10 - 4 , que é o critério de parada, e isolamos n.

    M b - a 3 12 n 2 < 1 10 4

    Invertendo as frações e o sinal da inequação, temos:

    12 n 2 M b - a 3 > 10 4

    n > 10 4 × M b - a 3 12 1 2

  3. De forma análoga, a fórmula de erro para a regra de Simpson é:

E S ≤ M b - a 5 180 n 4

Isolando da mesma forma que no passo anterior, teremos:

n > 10 4 × M b - a 5 180 1 4

Com a diferença de que M será f i v c

Passo 2

Solucionando o item a:

Calculando o valor de M em c = 0 , teremos:

f ' ' 0 = - cos ⁡ ( π ) = - 1

Substituindo no erro da regra do trapézio, sem considerar o sinal, temos:

10 4 × 1 2 - 0 3 12 1 2 = 2 3 × 10 4 12 = 81,65

Para que n > 81,65 , podemos assumir que ele seja n = 82 .

Passo 3

Solucionando o item b:

Para o valor de M, teremos:

f i v 0 = cos ⁡ π = 1

Solucionando a regra do erro de Simpson, será igual a:

10 4 × 1 2 - 0 5 180 1 4 = 10 4 × 2 5 180 4 = 6,49

Para que n seja aplicável a regra de Simpson, e necessário que seja par, pois a aproximação por parábolas é feita por pares de pontos. Logo:

n = 8

Resposta

a )   n = 82

b )   n = 8

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