Enunciado

Estime o número mínimo de subintervalos necessários para aproximar a integral:

∫ 1 2 1 s 2 d s

com um erro de magnitude inferior a 10 - 4 através da:

  1. Regra do trapézio
  2. Regra de Simpson

Passo 1

A integral numérica serve para que calculemos a solução de uma integral cuja primitiva não tem forma elementar. Para isso, dividimos o intervalo dado em subintervalos e aplicamos regras que aproximem o resultado para o valor real da integral. Para sabermos quantos subintervalos são necessários, usamos as seguintes equações:

  1. Para o critério de parada da regra do trapézio temos a equação:
  2. E T ≤ M b - a 3 12 n 2

    Sendo M = f ' ' c , estando c contido no intervalo, [ a ,   b ] os limites do intervalo e n o número de subintervalos. Para descobrirmos o número de subintervalos, substituímos a condição que: E T < 10 - 4 , que é o critério de parada, e isolamos n.

    M b - a 3 12 n 2 < 1 10 4

    Invertendo as frações e o sinal da inequação, temos:

    12 n 2 M b - a 3 > 10 4

    n > 10 4 × M b - a 3 12 1 2

  3. De forma análoga, a fórmula de erro para a regra de Simpson é:

E S ≤ M b - a 5 180 n 4

Isolando da mesma forma que no passo anterior, teremos:

n > 10 4 × M b - a 5 180 1 4

Com a diferença de que M será f i v c

Passo 2

Solucionando o item a:

Para o valor de M, com c igual ao menor valor do intervalo, teremos:

M = f ' ' 1 = 6 1 4 = 6

Substituindo na inequação do Erro do trapézio, teremos:

10 4 × 6 2 - 1 3 12 1 2 = 6 × 10 4 12 = 5000 = 70,71

Para n > 70,71 , basta adotar n = 71 .

Passo 3

Solucionando o item b:

Para o valor de M, com c igual ao menor valor do intervalo, teremos:

M = f i v 1 = 120 1 4 = 120

Substituindo na inequação do erro de Simpson, teremos:

10 4 × 120 2 - 1 5 180 1 4 = 10 4 × 120 180 4 = 12 × 10 5 180 = 9,036

Temos apenas uma particularidade para o valor de n, uma vez que, por trabalhar usando parábolas para aproximar valores, é necessário que n , seja par. Logo:

n > 9,036   e   p a r

n = 10

Resposta

a )   n = 71

b )   n = 10

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Os fatores funcionais de f(x) na tabela a seguir foram obtidos experimentalmente com a hipótese de que f é contínua em [1,3] , aproxime ∫ 1 3 f x d x pela (a) regra do trapézio e (b) regra de Simpson.
No exercício a seguir calcule o valor aproximado da integral definida dada pela regra do trapézio com valor de n indicado. Expresse o resultado com 3 casas decimais. ∫ 0 π s e nx 1 + xd x ; n=6
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Os valores da função f ( x ) foram obtidos experimentalmente. Com a hipótese de que f é contínua em [0, 4], aproxime ∫ 0 4 f xd x por (a) a regra do trapézio e (b) a regra de Simpson.
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