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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 1 6ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 6ª Edição - James Stewart - 2.6 - 37C

Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x   usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.

Passo 1

Para demonstrar que está correto, iremos calcular o limite de forma algébrica. Porém, como é um limite no infinito, devemos mexer algebricamente na função de forma a tentar facilitar nossa vida, pois não podemos simplesmente trocar x   por - ∞ .

Seja f x = x 2 + x + 1 + x , multiplicaremos tudo pelo conjudado, tal que o conjugado vale 1, então 1 = x 2 + x + 1 - x x 2 + x + 1 - x

Então, ficamos com

f x = x 2 + x + 1 + x ⋅ x 2 + x + 1 - x x 2 + x + 1 - x = ( x 2 + x + 1 ) - x 2 x 2 + x + 1 - x = x + 1 x 2 + x + 1 - x

Agora, dividiremos em cima e em baixo pelo denominador de maior potência, no caso, x .

Daí, temos

f x = ( x + 1 ) ⋅ 1 x x 2 + x + 1 - x ⋅ 1 x = 1 + 1 x - 1 + 1 x + 1 x 2 - 1

Note que o sinal negativo apareceu no denominador, pois x é menor que zero, logo x 2 = x = - x , então ao dividirmos pelo denominador de maior potencia ficamos com,

1 x ⋅ x 2 + x + 1 = - 1 x 2   x 2 + x + 1 = - 1 + 1 x + 1 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, aplicaremos o limite na f ( x ) que encontramos, porém precisamos lembrar de duas coisas, a primeira é que lim x → - ∞ ⁡ 1 x = 0 e a segunda é que lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 = 0 , então,

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x   = lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x - 1 + 1 x + 1 x 2 - 1 = 1 + 0 - 1 + 0 + 0 - 1 = - 1 2

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x   = - 1 2

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