Enunciado

Encontre os limites quando x → ∞ e quando x → - ∞ . Use essa informação, bem como os interceptos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 11.

y = 2 + x 3 1 - x 3 - x

Passo 1

E aí, tudo bom?! Temos a curva:

y = 2 + x 3 1 - x 3 - x

E queremos calcular os limites:

lim x → ∞ ⁡ 2 + x 3 1 - x 3 - x

lim x → - ∞ ⁡ 2 + x 3 1 - x 3 - x

Pra calcular esses limites vamos lembrar que o limite de um produto é o produto dos limites, assim:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x × lim x → a ⁡ g x

Depois a gente vai os limites pra esboçar o gráfico de y ! Vamos também calcular os pontos onde a curva intercepta os eixos x e y !

Passo 2

Vamos começar com:

lim   x → ∞ ⁡ 2 + x 3 1 - x 3 - x

Podemos escrever:

lim   x → ∞ ⁡ 2 + x 3 × lim   x → ∞ ⁡ 1 - x × lim   x → ∞ ⁡ 3 - x

No primeiro limite temos:

lim   x → ∞ ⁡ 2 + x 3 = lim   x → ∞ ⁡ 2 + x 2 + x 2 + x

Então:

lim   x → ∞ ⁡ 2 + x 2 + x 2 + x = lim   x → ∞ ⁡ 2 + x 3

Agora, calculando os limites individualmente:

lim   x → ∞ ⁡ 2 + x 3 = ∞

lim   x → ∞ ⁡ 1 - x = - ∞

lim   x → ∞ ⁡ 3 - x = - ∞  

Então:

lim   x → ∞ ⁡ 2 + x 3 1 - x 3 - x = ∞

Passo 3

Agora vamos calcular:

lim   x → - ∞ ⁡ 2 + x 3 1 - x 3 - x

Olhando pra cada limite individualmente:

lim   x → - ∞ ⁡ 2 + x 3 = - ∞

lim   x → ∞ ⁡ 1 - x = - ∞

lim   x → ∞ ⁡ 3 - x = - ∞  

Então:

lim   x → - ∞ ⁡ x 2 x - 2 1 - x = - ∞

Passo 4

Show, bora começar a pensar no esboço do gráfico?!

y = 2 + x 3 1 - x 3 - x

Teremos um produto de 3 parcelas, então y = 0 quando qualquer uma dessas parcelas for igual a zero. Assim temos:

x = - 2

x = 1

x = 3

Agora vamos calcular quando a curva toca o eixo y . Isso acontece quando x = 0 :

y = 2 + 0 3 1 - 0 3 - 0 = 24

Então temos os pontos - 2 , 0 , 1,0 ,   3 , 0 ,   0,24 .

Passo 5

Agora a gente vai pensar nas informações que a gente tem! Trazendo a função pra pertinho da gente também:

y = 2 + x 3 1 - x 3 - x

  • Pra valores de x muito grandes e negativos o y vai pra menos infinito;
  • Em x = - 2 a curva intercepta o eixo x . Se antes disso o x tava vindo do infinito negativo e o y do infinito negativo, então essa curva toca o eixo de baixo pra cima e da esquerda pra direita;
  • Em x = 0 a curva intercepta o eixo y em y = 24 ;
  • Em x = 1 a curva intercepta o eixo x ;
  • Se a gente dar uma olhada na nossa curva percebemos que para - 2 < x < 1 o y é sempre positivo. Isso significa que a curva sai do - ∞ e cruza o eixo x , não apenas toca!
  • Em x = 1   a curva toca no eixo x . Como depois disso, em 1 < x < 3 temos y < 0 então podemos deduzir que no intervalo - 2 < x < 1 o y cresce, chega a um máximo e depois decresce tocando no eixo x em x = 1 .
  • Para x > 3   temos um y > 0 . Então podemos inferir que em 1 < x < 3 o x descrece, chega a um mínimo e depois volta a crescer, tocando o eixo x em x = 3 .
  • A medida que x cresce, y vai pra infinito!
  • Quando calculamos os limites a gente viu que o x tendia pra infinito mas o y era a multiplicação de 5 infinitos. Isso significa que o y sempre vai pra infinito mais rápido que o x .

Passo 6

Finalmente podemos plotar a nossa curva:

Prontinho!!!

Resposta

lim   x → - ∞ ⁡ 2 + x 3 1 - x 3 - x = - ∞

lim   x → ∞ ⁡ 2 + x 3 1 - x 3 - x = ∞

Esboço do gráfico.

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