Enunciado

Estime o valor de

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x

traçando o gráfico da função f x = x 2 + x + 1 + x

Faça uma tabela de valores de f ( x ) para estimar qual será o valor do limite

Demonstre que sua conjectura está correta

Passo 1

Opa! Vamos fazer essa questão?! O enunciado nos deu ao limite:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x

E nos pediu três coisas: A primeira é estimar o valor do limite a partir do esboço do gráfico de sua função. Pra isso a gente vai plotar o gráfico e olhar pra onde vai a função quando temos valores de x negativos muito grandes!

A segunda é fazer uma tabelinha com valores de x e f ( x ) , isso pode ser a primeira coisa a fazer! Daí a gente já usa esses valores pra montra o gráfico da letra (a)!

f x = x 2 + x + 1 + x

Na tabelinha é importante a gente pegar valores negativos pequenos e ir aumentando muuuuito. Estamos indo pra menos inifinito!

Passo 2

Vamos começar com a letra ( b ) então, montando a tabelinha! Temos que:

Olhando a tabela a gente vê que quando pegamos valores negativos muito grandes, tendendo a infinito o f ( x ) tende a - 0,5 .

Passo 3

Agora vamos pegar os valores acima e montar o gráfico:

Como a gente consegue ver, a nossa função quando vai para - ∞ , fica parecendo uma reta horizontal, vamos dar um zoom pra ver quem é essa reta!

Aqui a gente consegue ver que quando x → - ∞ temos que f x = - 0,5 .

Passo 4

Para ver se o limite estimado esta correto vamos calcular esse limite

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x

Vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x x 2 + x + 1 - x x 2 + x + 1 - x

Isso nos dá:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 - x 2 x 2 + x + 1 - x

Ajeitando isso dai ficamos com:

l i m x → - ∞ x + 1 x 2 + x + 1 - x

Vamos colocar x em evidencia dentro da raiz ficando com:

l i m x → - ∞ x + 1 x 2 1 + 1 x + 1 x 2 - x

l i m x → - ∞ x + 1 x - 1 + 1 x + 1 x 2 - 1

Dividindo todo mundo por x :

l i m x → - ∞ x x + 1 x x x - 1 + 1 x + 1 x 2 - 1

l i m x → - ∞ 1 + 1 x - 1 + 1 x + 1 x 2 - 1

Calculamos o limite:

l i m x → - ∞ 1 + 1 - ∞ - 1 + 1 - ∞ + 1 - ∞ - 1 = - 1 2

Que é a mesma coisa que

l i m x → - ∞ f x = - 0,5

Então estimamos corretamente!

Resposta

l i m x → - ∞ f x = - 0,5

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