Enunciado

Fazer o gráfico das funções seguintes e determinar os respectivos limites. Para melhor visualização, traçar, também, o gráfico das retas indicadas. A seguir, determinar analiticamente os limites dados e comparar os resultados.

f x = s e n 3 x 2 x 3

y = 1 8

lim x → 0 ⁡ f ( x )

Passo 1

Primeiro vamos traçar o gráfico da função, já com a reta y = 1 8 marcada.

Esse gráfico é bem apertadinho, não tem muito como melhorar a visualização =(

Beleza, então visualmente já conseguimos determinar que:

lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 2 x 3 = 1 8

E pra valores de x maiores, ela tá cada vez mais tendendo pra 0 .

lim x → ∞ ⁡ s e n 3 x 2 x 3 = 0

lim x → - ∞ ⁡ s e n 3 x 2 x 3 = 0

Passo 2

Vamos confirmar com as contas. O primeiro limite que a gente viu parece bem feio, mas olha só como a gente faz aparecer o limite fundamental.

lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 2 x 3 = lim x → 0 ⁡ s e n x 2 x × s e n x 2 x × s e n x 2 x

Vamos separar esse limite em produto de três limites:

lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 2 x 3 = lim x → 0 ⁡ s e n x 2 x 3

Falta só aparecer o limite fundamental ali dentro.

lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 2 x 3 = lim x → 0 ⁡ 1 2 s e n x 2 1 2 x 3 = 1 2 lim x → 0 ⁡ s e n x 2 1 2 x 3

Esse é o fundamental!

lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 2 x 3 = 1 2 3 = 1 8

Pros outros, com x tendendo ao infinito, o que a gente tem é uma função limitada ( s e n x 2 ), que só vai de - 1 a 1 , sendo dividida por um valor enorme! Esses dois limites tendem pra 0 . Confirmado!

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 2 x 3 = 1 8

lim x → + ∞ ⁡ s e n 3 x 2 x 3 = 0

lim x → - ∞ ⁡ s e n 3 x 2 x 3 = 0

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