Enunciado

Dois carros, A e B , largam lado a lado e aceleram a partir do repouso. A figura mostra os gráficos de suas funções velocidade.

a Qual carro estará na frente após 1 minuto? Explique.

b Qual o significado da área da região sombreada?

c Qual carro estará na frente após 2 minutos? Explique.

d Estime quando os carros estarão novamente lado a lado.

Passo 1

Opa! Aqui temos dois carros, A e B que partiram do mesmo ponto em um mesmo instante. Se liga nesse gráfico que nos dá a velocidade em função do tempo:

A primeira coisa que devemos responder é qual carro estará na frente após 1 minuto!

Bem, se a gente integrar cada curva teremos:

∫ b a v A t   d t  

∫ b a v b ( t )   d t

A velocidade é nada mais nada menos que a derivada da distância em função do tempo. Certo?!

Isso quer dizer que a integral da velocidade é a distância! Então a curva com a maior área sobre ela percorreu a maior distância. Concorda?!

Então podemos dizer que após o primeiro minuto o carro A esta na frente!

Se eu fizer:

∫ b a v A t - v B t   d t  

Passo 2

Agora a letra b)!

Se eu fizer:

∫ b a v A t - v B t   d t  

Então teremos a distância entre os dois carros.

Essa integral representa a área sombreada da imagem, que é a distância entre A e B após um minuto!

Passo 3

Para a letra c) temos que após 2 minutos, o carro A ainda está na frente.

Isso acontece porque apesar do carro b ter aumentado sua velocidade, a área abaixo da curva de A ainda é maior que a área abaixo da curva de B .

Por fim, na letra d) os carros estarão juntos novamente quando a área de 1 ≤ t ≤ x for a mesma área de 0 ≤ t ≤ 1 , que ocorre no gráfico aproximadamente em x = 2.2

Prontinho!

Resposta

a Após um minuto, o carro A está na frente.

b A distância entre A e B após um minuto.

c Após 2 minutos, o carro A ainda estará na frente,.

d Os carros estarão juntos novamente em x = 2.2

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Desenhe a curva dada (coordenadas polares ).e) θ = π 4
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). m ) ρ 2 = tan ⁡ θ ,0 ≤ θπ 2( ρ ≥ 0 )
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). j ) ρ = 1 - sin ⁡ θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). n ) ρ 2 = tan ⁡ 2 θ ,0 ≤ θπ 4( ρ ≥ 0 )
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). l ) ρ = cos ⁡ 4 θ