Enunciado

Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado.

f x , y = 3 x - y

em:

A = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 1

Primeiro vamos dar uma olhada nessa região que ele deu:

A = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 1

No R 2 , essa parada representa um círculo de raio igual a 1 , com centro na origem! Como tem esse “menor ou igual”, a região é toda a parte de dentro do círculo. Belezura!

Passo 2

Repara no seguinte: essa função não tem pontos críticos, por ser uma reta! Então, como não tem ponto crítico, o máximo e o mínimo vão estar na região da fronteira. Pra encontrar os pontos certinhos, vamos pegar as retas da forma da função que queremos estudar.

3 x - y = k → y = 3 x - k

E aí, vamos tentar fazer essa reta se encontrar com a bordinha do círculo, porque aí estaríamos encostando em um “vértice”. Coloquei o vértice entre aspas porque como que uma circunferência pode ter vértice? Só se a gente considerar ela como uma linha poligonal com infinitos vértices, sacou? Mas a idéia é a mesma. Então vamos substituir essa reta na equação da circunferência.

x 2 + y 2 = 1

x 2 + 3 x - k 2 = 1

Desenvolvendo,

10 x 2 - 6 k x + k 2 = 1

10 x 2 - 6 k x + k 2 - 1 = 0

Como essa reta vai ser tangente, a equação só pode ter uma solução, e então, Δ = 0 .

6 k 2 - 4 10 k 2 - 1 = 0

36 k 2 - 40 k 2 + 40 = 0

Ajeitando,

4 k 2 = 40

k 2 = 10

E então,

k = ± 10

As retas vão ser então:

y = 3 x - 10

y = 3 x + 10

Passo 3

Finalmente, pra achar os pontos, a gente volta na equação:

10 x 2 - 6 k x + k 2 - 1 = 0

E vamos substituir os k ' s que encontramos.

k = 10 :

10 x 2 - 6 10 x + 9 = 0

Resolvendo o segundo grau, vamos encontrar:

x = 3 10 10

E aí,

y = 3 3 10 10 - 10 = - 10 10

E pra k = - 10 :

10 x 2 + 6 10 x + 9 = 0

Resolvendo o segundo grau, vamos encontrar:

x = - 3 10 10

E aí,

y = 3 - 3 10 10 + 10 = 10 10

Prontinho, os nossos pontos são:

- 3 10 10 , 10 10 ; 3 10 10 ,   - 10 10

Passo 4

Falta só ver quem é de máximo e quem é de mínimo aí. Vamos substituir na função!

f - 3 10 10 , 10 10 = 3 - 3 10 10 - 10 10 = - 10

f 3 10 10 , - 10 10 = 3 3 10 10 + 10 10 = 10

Então - 3 10 10 , 10 10 é ponto de mínimo e 3 10 10 , - 10 10 é ponto de máximo.

Resposta

- 3 10 10 , 10 10 é ponto de mínimo e 3 10 10 , - 10 10 é ponto de máximo

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