Enunciado

Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.

Sugestão: Utilize a fórmula A = p p - a p - b p - c que fornece a área do triângulo em função dos lados a , b e c e do semiperímetro p = a + b + c 2 .

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Maximize a função área A a , b , c , sendo que o perímetro constante”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Note que dá na mesma se trabalharmos com perímetro ou semiperímetro constantes. Assim, vamos adotar p = a + b + c 2 como sendo um valor FIXO e CONHECIDO.

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = p p - a p - b p - c  

g =   a + b + c 2 - p

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, a soma deve ser igual a 36).

Hmmmm, mas note que termos definido f = p p - a p - b p - c nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor f = p p - a p - b p - c ? Afinal, procurar o maior p p - a p - b p - c é o mesmo que procurar o maior p p - a p - b p - c ! Espertezaaaa!

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ a , ∂ f ∂ b , ∂ f ∂ c = - p p - b p - c , - p p - a p - c , - p p - a p - b

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ a , ∂ g ∂ b , ∂ g ∂ c = 1 2 , 1 2 , 1 2

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

- p p - b p - c , - p p - a p - c , - p p - a p - b = λ 1 2 , 1 2 , 1 2   a + b + c 2 - p = 0

Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

- p p - b p - c = λ 2 - p p - a p - c = λ 2 - p p - a p - b = λ 2   a + b + c 2 = p

Sisteminha complicado! Vamos dividir a primeira equação pela segunda. O resultado é

p - b p - a = 1

O que implica de imediato que a = b .

Do mesmo modo, dividindo a terceira equação pela primeira, achamos

p - a p - c = 1

O que implica de imediato que a = c . Ou seja, todos os lados devem ter o mesmo valor, digamos a = b = c = L ! Mas, qual valor?? Basta substituir na equação que sobrou:

a + b + c 2 = 3 2 L = p

Ou seja, sendo p o semiperímetro, temos que o triângulo de área máxima será equilátero, com cada lado valendo exatamente um terço do perímetro!

Resposta

Equilátero

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