Enunciado

f (x , y) = {[[(x y^2)/(x^2 + y^2) , s e (x , y) != (0 , 0)],[0 , s e (x , y) = ( 0 , 0 )]])

é contínua em (0 , 0) ? Justifique.

Passo 1

O exercício forneceu uma função de duas variáveis

f (x , y) = {[[(x y^2)/(x^2 + y^2) , s e (x , y) != (0 , 0)],[0 , s e (x , y) = ( 0 , 0 )]])

e quer saber se ela é contínua em (x , y) = (0 , 0) . Para verificar isso, temos que lembrar que uma função é contínua em um ponto se o valor do limite for igual ao valor da função nesse ponto.

Já sabemos que

f (0 , 0) = 0

Resta ver quanto vale o limite quando (x , y) -> (0 , 0) .

Passo 2

Quando tomamos o limite, estamos considerados pontos próximo de (0 , 0) mas diferentes deles. Desta forma, como (x , y) != (0 , 0) , a expressão que usamos para f é

f (x , y) = (x y^2)/(x^2 + y^2)

Esse é uma daqueles limites clássicos do teorema do confronto:

0 <= y^2 <= x^2 + y^2

Isso acontece pois x^2 >= 0 . Dividindo todos os membros por x^2 + y^2 :

0 <= (y^2)/(x^2 + y^2) <= 1

Agora multiplicamos todos os termos por x :

0 <= (x y^2)/(x^2 + y^2) <= x

Agora vamos tomar o limite de x quando (x , y) -> (0 , 0)

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) x = 0

Assim, temos que

0 <= underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x y^2)/(x^2 + y^2) <= 0

Pelo teorema do confronto, note que o limite que queremos está “ensanduichado” por dois zeros. Assim, o limite deve ser nulo:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x y^2)/(x^2 + y^2) = underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) f (x , y) = 0

Com isso vemos que

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) f (x , y) = f (0 , 0)

Desta forma, provamos que f é contínua em (0 , 0) .

Resposta

Sim, a função é contínua em (0 , 0) .

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