f x ,   y = x y 2 x 2 + y 2 ,           s e     x ,   y ≠ 0 ,   0 0 ,                 s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

é contínua em (0, 0) ? Justifique.

Passo 1

O exercício forneceu uma função de duas variáveis

f x ,   y = x y 2 x 2 + y 2 ,           s e     x ,   y ≠ 0 ,   0 0 ,                 s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

e quer saber se ela é contínua em x ,   y = 0 ,   0 . Para verificar isso, temos que lembrar que uma função é contínua em um ponto se o valor do limite for igual ao valor da função nesse ponto.

Já sabemos que

f 0 ,   0 = 0

Resta ver quanto vale o limite quando x ,   y → 0 ,   0 .

Passo 2

Quando tomamos o limite, estamos considerados pontos próximo de 0 ,   0 mas diferentes deles. Desta forma, como x ,   y ≠ 0 ,   0 , a expressão que usamos para f é

f x ,   y = x y 2 x 2 + y 2

Esse é uma daqueles limites clássicos do teorema do confronto:

0 ≤ y 2 ≤ x 2 + y 2

Isso acontece pois x 2 ≥ 0 . Dividindo todos os membros por x 2 + y 2 :

0 ≤ y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Agora multiplicamos todos os termos por x :

0 ≤ x y 2 x 2 + y 2 ≤ x

Agora vamos tomar o limite de x quando x ,   y → 0 ,   0

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x = 0

Assim, temos que

0 ≤ lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y 2 x 2 + y 2 ≤ 0

Pelo teorema do confronto, note que o limite que queremos está “ensanduichado” por dois zeros. Assim, o limite deve ser nulo:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y 2 x 2 + y 2 = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f x ,   y = 0

Com isso vemos que

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f x ,   y = f 0 ,   0

Desta forma, provamos que f é contínua em 0 ,   0 .

Resposta

Sim, a função é contínua em 0 ,   0 .

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