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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 16.5 - Ex. 1 b

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Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.

b) f x , y = 3 x + y e x 2 + 2 y 2 ≤ 1

Passo 1

Perceba que precisamos usar multiplicador de Lagrange, mas precisamos de um superfície para fazer a restrição .Nos foi dada a restrição, x 2 + 2 y 2 ≤ 1 vamos chama-la de   g x , y = x 2 + 2 y 2 - 1 .

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de lagrange

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

∂ f ∂ x x , y = 3   ∂ f ∂ y x , y = 1  

Logo,

∇ f x , y = 3,1

Vamos agora para a função g .  

∂ g ∂ x x , y = 2 x   ∂ f ∂ y x , y = 4 y  

Logo,

∇ g x , y = 2 x , 4 y

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

3,1 = λ 2 x , 4 y x 2 + 2 y 2 ≤ 1

Podemos reescrever o sistema,

2 λ x = 3   4 λ y = 1 x 2 + 2 y 2 ≤ 1

Isolando a primeira e a segunda equação

x = 3 2 λ       y = 1 4 λ  

Substituindo na última equação

x 2 + 2 y 2 ≤ 1 ⟹

9 4 λ 2 + 2 16 λ 2 ≤ 1 ⟹

36 + 2 16 λ 2 ≤ 1   ⟹

16   λ 2 ≥ 38   ⟹

λ ≥ 19 2 2  

Passo 4

Substituindo o valor de lambda em x e y , temos que

x = 6 2 2 19 = 6 38

y = 1 38

E,

x 1 =   - 6 38

y 1 = -   1 38

Calculando a hessiana, temos que 6 38 ,   1 38 é um ponto de máximo e ( - 6 38 , -   1 38 )   é um ponto de mínimo.

Resposta

6 38 ,   1 38 é um ponto de máximo e ( - 6 38 , -   1 38 )   é um ponto de mínimo.

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