Enunciado

Determine a curva de nível de f x , y = x 2 + 16 y 2 que seja tangente à curva x y = 1 , x > 0 e y > 0 . Qual o ponto de tangência?

Passo 1

Queremos encontrar a curva de nível da função f x , y = x 2 + 16 y 2 que seja tangente à curva x y = 1 . Sabemos que o gradiente de f será ortogonal à curva de nível, de modo que deve ser perpendicular à tangente da curva x y = 1 . Assim, se parametrizarmos a curva por γ ( t ) , devemos ter

∇ f γ t ⋅ γ ' t = 0

Vamos escolher

γ t = t , 1 t

Assim,

γ ' t = 1 ,   - 1 t 2

Passo 2

Por outro lado,

∇ f x , y = 2 x ,   32 y ⇒ ∇ f γ t = 2 t , 32 t

Logo,

∇ f γ t ⋅ γ ' t = 2 t , 32 t ⋅ 1 ,   - 1 t 2 = 2 t - 32 t 3 = 0

Portanto,

2 t 4 - 32 t 3 = 0 ⇒ t 4 = 16

Como x > 0 , temos que

t = 2

Desta forma, o ponto de tangência é

2 , 1 2

Além disso,

f γ 2 = 2 2 + 16 ⋅ 1 2 2 = 4 + 16 4 = 8

Assim, a curva de nível é

x 2 + 16 y 2 = 8

Resposta

x 2 + 16 y 2 = 8

2 , 1 2

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