Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 46
44. Encontre três números cuja soma é e cuja soma dos quadrados é a menor possível.
Passo 1
Pra começar, podemos chamar esses números de e
E queremos saber o mínimo da seguinte função:
Pois, assim, encontramos a menor soma dos quadrados possível.
Passo 2
Da primeira equação:
Isolando o termo :
Substituindo na função :
Assim,
Arrumando as coisas:
A ideia vai ser encontrar os pontos críticos e ver qual é o ponto de mínimo. Então, vamos fazer e
Passo 3
Para o :
Logo,
Para o :
Assim,
Igualando a zero, temos:
Resolvendo o sistema:
Mas a gente sabe o seguinte:
Então,
Portanto,
Passo 4
Agora vamos analisar se isso é realmente um ponto de mínimo pelo teste da segunda derivada
Para o :
Logo,
Para o :
Por fim, vamos ver como fica o :
Assim,
Pelo teste da segunda derivada:
No ponto :
Como e , temos realmente um ponto de mínimo. Então agora é só achar o :
Portanto,
Resposta
A menor soma dos quadrados possível é .
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