Enunciado

44. Encontre três números cuja soma é 12 e cuja soma dos quadrados é a menor possível.

Passo 1

Pra começar, podemos chamar esses números de x ,   y e z

x + y + z = 12

E queremos saber o mínimo da seguinte função:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Pois, assim, encontramos a menor soma dos quadrados possível.

Passo 2

Da primeira equação:

x + y + z = 12

Isolando o termo z :

z = 12 - x + y

Substituindo na função f :

f x , y , z = x 2 + y 2 + 12 - x + y 2

Assim,

f x , y = x 2 + y 2 + 144 - 24 x + y + x 2 + 2 x y + y 2

Arrumando as coisas:

f x , y = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 x y - 24 x + y + 144

A ideia vai ser encontrar os pontos críticos e ver qual é o ponto de mínimo. Então, vamos fazer f x = 0 e f y = 0

Passo 3

Para o f x :

f x = ∂ ∂ x f

Logo,

f x = 4 x + 2 y - 24

Para o f y :

f y = ∂ ∂ y f

Assim,

f y = 4 y + 2 x - 24

Igualando a zero, temos:

4 y + 2 x = 24 4 x + 2 y = 24

Resolvendo o sistema:

x = y = 4

Mas a gente sabe o seguinte:

x + y + z = 12

Então,

4 + 4 + z = 12 → z = 4

Portanto,

x = y = z = 4

Passo 4

Agora vamos analisar se isso é realmente um ponto de mínimo pelo teste da segunda derivada

D x , y = f x x x , y f y y x , y - f x y x , y 2

Para o f x x :

f x ( x , y ) = 4 x + 2 y - 24

Logo,

f x x ( x , y ) = 4

Para o f x y :

f x y x , y = 2

Por fim, vamos ver como fica o f y y :

f y = 4 y + 2 x - 24

Assim,

f y y x , y = 4

Pelo teste da segunda derivada:

D 4,4 = f x x 4,4 f y y 4,4 - f x y 4,4 2

No ponto ( 4,4 ) :

D 4,4 = 4 × 4 - 2 2 = 12

Como D 4,4 > 0 e f x x 4,4 > 0 , temos realmente um ponto de mínimo. Então agora é só achar o f ( 4,4 ) :

f 4,4 = 4 2 + 4 2 + 12 - 4 - 4 2

Portanto,

f 4,4 = 48

Resposta

A menor soma dos quadrados possível é 48 .

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