Enunciado

Estude o sinal da expressão.

x (x - 1) (2 x + 3)

Passo 1

Para estudar o sinal da expressão vamos analisar as três expressões separadamente:

Para x temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Para 2 x + 3 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - (3)/(2) e assume valores positivos quando x > - (3)/(2) .

Vamos analisar agora as três situações, quando a expressão toda é maior que zero, menor e igual a zero:

Para maior que zero temos:

x (x - 1) (2 x + 3) > 0

Para menos que zero:

x (x - 1) (2 x + 3) < 0

E para igual a zero:

x (x - 1) (2 x + 3) = 0

Passo 2

Vamos lá, para resolver a primeira inequação vamos analisar as três imagens que achamos no passo anterior:

Temos que x (x - 1) (2 x + 3) > 0 quando as três expressões forem todas positivas ou quando duas são negativas e a outra é positiva, analisando as três imagens vemos que isso acontece quando:

- (3)/(2) < x < 0 ou x > 1

Passo 3

Para resolver a segunda inequação vamos fazer a mesma análise:

Temos que x (x - 1) (2 x + 3) < 0 quando as três expressões forem todas negativas ou quando duas são positivas e a outra é negativa, analisando as três imagens vemos que isso acontece quando:

x < - (3)/(2) ou 0 < x < 1

Passo 4

Agora vamos resolver a equação igual a zero, temos que analisar a seguinte equação:

x (x - 1) (2 x + 3) = 0

Para ela ser zero precisamos que uma das expressões seja igual a zero, assim temos:

x = 0

x - 1 = 0 -> x = 1

2 x + 3 = 0 -> x = - (3)/(2)

Resposta

x (x - 1) (2 x + 3) > 0 para - (3)/(2) < x < 0 ou x > 1

x (x - 1) (2 x + 3) < 0 para x < - (3)/(2) ou 0 < x < 1

x (x - 1) (2 x + 3) = 0 para x = 0 ou x = 1 ou x = - (3)/(2)

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