Estude o sinal da expressão.

x(x-1)(2x+3)

Passo 1

Para estudar o sinal da expressão vamos analisar as três expressões separadamente:

Para x temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Para 2 x + 3 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 3 2 e assume valores positivos quando x > - 3 2 .

Vamos analisar agora as três situações, quando a expressão toda é maior que zero, menor e igual a zero:

Para maior que zero temos:

x x - 1 2 x + 3 > 0

Para menos que zero:

x x - 1 2 x + 3 < 0

E para igual a zero:

x x - 1 2 x + 3 = 0

Passo 2

Vamos lá, para resolver a primeira inequação vamos analisar as três imagens que achamos no passo anterior:

Temos que x x - 1 2 x + 3 > 0 quando as três expressões forem todas positivas ou quando duas são negativas e a outra é positiva, analisando as três imagens vemos que isso acontece quando:

- 3 2 < x < 0 ou x > 1

Passo 3

Para resolver a segunda inequação vamos fazer a mesma análise:

Temos que x x - 1 2 x + 3 < 0 quando as três expressões forem todas negativas ou quando duas são positivas e a outra é negativa, analisando as três imagens vemos que isso acontece quando:

x < - 3 2 ou 0 < x < 1

Passo 4

Agora vamos resolver a equação igual a zero, temos que analisar a seguinte equação:

x x - 1 2 x + 3 = 0

Para ela ser zero precisamos que uma das expressões seja igual a zero, assim temos:

x = 0

x - 1 = 0 → x = 1

2 x + 3 = 0 → x = - 3 2

Resposta

x x - 1 2 x + 3 > 0 para - 3 2 < x < 0 ou x > 1

x x - 1 2 x + 3 < 0 para x < - 3 2 ou 0 < x < 1

x x - 1 2 x + 3 = 0 para x = 0 ou x = 1 ou x = - 3 2

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