Enunciado

Trabalho sob a água. A intensidade L ( x ) de luz x   pés sob a superfície do oceano satisfaz a equação diferencial

d L d x = - k L    

Como mergulhador, você sabe, por experiência, que um mergulho de 18 pés no mar do Caribe reduz a intensidade da luz pela metade. Você não consegue trabalhar sem luz artificial

quando a intensidade da luz cai abaixo de um décimo do valor da superfície. Até que profundidade, aproximadamente, você pode trabalhar sem luz artificial?

Passo 1

Inicialmente para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de L e do outro todo mundo que depende de x .

d L d x = - k L     ⇒ 1 L d L = - k   d x    

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

∫ 1 L d L     = ∫ - k   d x   ⇒ ln ⁡ L + C 1 = - k ∫ 1   d x = k x + C 2

Portanto, a solução da EDO é da forma,

∫ 1 L d L     = ∫ - k   d x  

⇒ ln ⁡ L + C 1 = - k x + C 2

Assim,

ln ⁡ L = - k x + C

Onde, C = C 2 - C 1

Como desejamos encontrar apenas p , então

ln ⁡ L = k x + C ⇒ e ln ⁡ L = e - k x + C ⇒ L = e C . e - k x

Considerando e C = L 0 teremos,

L = L 0 e - k x

Passo 2

Perceba que temos um problema de valor inicial, quando o enunciado informa que você sabe, por experiência, que um mergulho de 18 pés no mar do Caribe reduz a intensidade da luz pela metade.O que se quer dizer é que L = L 0 2 quanto x = 18 .

Sendo assim, utilizaremos essas informações para encontrar o valor de k . Com isso,

L = L 0 e - k x

⇒ L 0 2 = L 0 e - k ( 18 )

⇒ L 0 2 = L 0 e - k ( 18 )

⇒ L 0 2 1 L 0   = e - k ( 18 )

⇒ e - k ( 18 ) = 1 2

⇒ ln ⁡ e - k 18 = ln ⁡ 1 2

⇒ - 18 k = ln ⁡ 1 2

⇒ k = ln ⁡ 0,5 2 ≈ 0,0385

Passo 3

Perceba que temos um problema de valor inicial, quando o enunciado pergunta até que profundidade, aproximadamente, você pode trabalhar sem luz artificial?

O que se quer se dizer que nesse momento, a voltagem depende do tempo. Dessa maneira teremos,

V ( t ) = V 0 e - 0,0385 x

Como desejamos determinar até que profundidade podemos trabalhar. Como sabemos que não conseguimos trabalhar sem luz artificial quando a intensidade da luz cai abaixo de um décimo do valor da superfície, ou seja, quando L = L 0 / 10 . Então,

L 0 10 = L 0 e - 0,0385 x   ⇒ L 0 10 1 L 0   = e - 0,0385 x

⇒ 1 10   = e - 0,0385 x ⇒   l n ⁡ ( e - 0,0385 x ) = ln ⁡ 1 10

⇒   - 0,0385 x = ln ⁡ 0,1 ⇒   x = ln ⁡ 0,1 - 0,0385 ≈ 59,8 pés.

Isso significa podemos trabalhar até uma profundidade de aproximadamente 59,8 pés.

Resposta

Pode -se trabalhar até uma profundidade de aproximadamente 59,8 pés.

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