Enunciado

Euler também descobriu a soma da série p com p = 4 :

ζ 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90

Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série.

b) ∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4

Passo 1

Então galera, a primeira coisa que devemos fazer é reescrever essa série que nos foi dada com esse denominador alterado! Para utilizarmos a informação que o enunciado nos cede, tem que aparecer k 4 no denominador, não é mesmo? Sendo assim, teremos:

∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4 = 1 3 4 + 1 4 4 + 1 5 4 + …

Dessa forma, podemos escrever:

∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4 = ∑ k = 3 ∞ 1 k 4

Temos o valor da série para k = 1 , então se quisermos o resultado para k = 3 , basta subtraírmos os valores de k = 2 e k = 1 , saca só:

∑ k = 3 ∞ 1 k 4 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 - 1 1 4 - 1 2 4

∑ k = 3 ∞ 1 k 4 = π 4 90 - 17 16

∴ ∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4 = π 4 90 - 17 16

Resposta

∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4 = π 4 90 - 17 16

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