Enunciado

3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

8. ∑ n = 1 ∞ n 2 e - n 3

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n 2 e - n 3

E precisamos aplicar o teste da integral! A ideia desse teste é usar em séries que se parecem com funções que sabemos integrar! Se a integral associada convergir para um número, então a série também converge, já se a integral for divergente, então a série também será!

Bora lá?

Passo 2

Chamando f x = x 2 e - x 3 , para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ x 2 e - x 3 d x

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x 2 e - x 3 d x

E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!

Passo 3

Resolvendo a integral primeiro, teremos:

∫ 1 t x 2 e - x 3 d x

Aqui vamos utilizar substituição de veriável, galera! Chamando u = - x 3 , teremos que d u = - 3 x ² d x . Se substituirmos esses resultados na integral em questão, obteremos:

- 1 3 ∫ 1 t e u d u = - 1 3 e u t 1 = - 1 3 e - x 3 t 1

∴ ∫ 1 t x 2 e - x 3 d x = - 1 3 e - t 3 - 1 e

Aplicando o limite:

lim t → ∞ ⁡ - 1 3 e - t 3 - 1 e = - 1 3 0 - 1 e = 1 3 e

Sendo assim, a conclusão é de que a a série converge.

Resposta

∑ n = 1 ∞ n 2 e - n 3   é   c o n v e r g e n t e

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