Enunciado

No Exemplo 1(b) mostramos que as populações de coelhos e lobos satisfazem a equação diferencial

d L d C = - 0,02 L + 0,00002 C L 0,08 C - 0,001 C L

Resolvendo essa equação diferencial separável, mostre que

L 0,008 C 0,002 e 0,001 L e 0,00002 C = E

Onde E é uma constante.

É impossível resolver essa equação para L como uma função explícita de C (ou vice-versa). Se você tiver um sistema de computação algébrica que trace curvas definidas implicitamente, use essa equação e seu SCA para denhar a curva solução que passa pelo ponto 1000,40 e compare com a Figura 3.

Passo 1

Precisamos resolver a equação diferencial d L d C = - 0,02 L + 0,00002 C L 0,08 C - 0,001 C L

Como se trata de uma equação separável, vamos jogar todos os termos com C para um lado e os com L para o outro lado. Se liga aí:

0,08 C - 0,001 C L d L = - 0,02 L + 0,00002 C L d C

Vamos dividir a equação inteira por C :

0,08 - 0,001 L d L = 1 C - 0,002 L + 0,00002 L   d C

Agora vamos dividir a equação toda por L:

0,08 L - 0,001 d L = - 0,002 C + 0,00002 d C

Passo 2

Integrando ambos os lados...

∫ 0,08 L - 0,001 d L = ∫ - 0,002 C + 0,00002 d C

0,08 ln ⁡ L - 0,001 L =   - 0,02 ln ⁡ C + 0,00002 C + D

0,08 ln ⁡ L - 0,0 2 ln ⁡ C =   0,0 01 L + 0,00002 C + D

Onde D é a nossa famosa constante de integração.

Quando chegamos nesse ponto da resolução os logaritmos estão incomodando, então vamos lembrar de algumas propriedades para melhorar nossa vida:

  1. a ln ⁡ x = ln ⁡ x a
  2. ln ⁡ u + ln ⁡ v = ln ⁡ u v
  3. ln ⁡ x = y ↔ e y = x

Agora podemos aplicá-las na nossa equação:

ln ⁡ L 0,08 + ln ⁡ C 0,02 =   0,001 L + 0,00002 C + D

ln ⁡ ( L 0,08 C 0,02 ) =   0,001 L + 0,00002 C + D

L 0,08 C 0,02 = e 0,001 L + 0,00002 C + D

Agora vamos também lembrar de uma propriedade de potências: x a + b = x a   x b

L 0,08 C 0,02 = e 0,001 L e 0,00002 C e D

Vamos chamar E = e D e substituir na nossa equação, isolando E :

E = L 0,008 C 0,002 e 0,001 L e 0,00002 C

Passo 3

Agora queremos desenhar, através de algum site (podemos utilizar o WolframAlpha, Desmos ou Geogebra para fazer isso) uma curva que use essa solução e passe pelo ponto ( 1000,40 ) . Nosso gráfico fica assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Resolva o problema de valor inicial. x d y d x - y x + 1 = x , y 1 = 0 ,x0
Resolva as equações diferenciais t ln ⁡ t d r d t + r = t e t
Resolva o problema de valor inicial: x y ' + y = x ln ⁡ x ;y 1 = 0
Determine se a equação diferencial é linear y ' + x y = x 2
Determine se a equação diferencial é linear d R d t + t cos ⁡ R = e - t