Enunciado

Encontre a série de Maclaurin de f (por qualquer método) e seu raio de convergência. Trace f e seus primeiros polinômios de Taylor na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e f?

f x = t g - 1 x 3

Passo 1

Podemos usar que:

t g - 1 ( x ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1        

Dessa maneira, temos

t g - 1 ( x 3 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 3 2 n + 1    

Passo 2

Pelo critério de convergência, temos que

x 3 < 1

Logo o raio de convergência é R = 1 .

Passo 3

Traçando o gráfico de f e alguns polinômios de Taylor, vemos que T n ( x ) nos dá uma aproximação de f(x) próxima a 0 conforme n cresce.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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