Enunciado

(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.

13. r = 9 6 + 2 c o s θ

Passo 1

Bom, a equação geral dessa cônica tem a seguinte forma:

r = e d 1 + e c o s θ

Como estamos atrás da excentricidade precisamos olhar para o e que multiplica a função cosseno no denominador na equação dada pelo enunciado. A questão é que essa equação não está na mesma forma que a equação acima, vamos tirar fator comum no denominador para que ela fique:

r = 9 6 1 + 2 6 c o s θ

Vamos colocar o 6 de fora para cima e depois simplificamos tudo:

r = 3 / 2 1 + 1 3 c o s θ

Agora sim podemos encontrar a excentricidade:

e = 1 3

Passo 2

(b) Como a excentricidade é menor que 1 a cônica é uma elipse.

Passo 3

(c) Para acharmos a diretriz, basta compararmos o numerador da equação geral do Passo 1 com a equação do enunciado, teremos então:

e d = 3 2

Mas sabemos que e = 1 / 3 , assim:

1 3 d = 3 2

d será:

d = 9 / 2

Como o termo no denominador é + e c o s θ , podemos dizer que a diretriz é vertical e está à direita da elipse, pelo valor de d , a equação será:

x = 9 / 2

Passo 4

O gráfico dessa cônica então será:

Resposta

a   e = 1 / 3

b   E l i p s e

c   x = 9 / 2

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