Enunciado

2 Escreva as formas de decomposiçãoo em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.

  1. x x 2 + x - 2
  2. x 2 x 2 + x + 2  

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos da duas funções:

a x x 2 + x - 2

( b ) x 2 x 2 + x + 2  

O que precisamos fazer aqui é decompor essas integrais em frações parciais, dá até a dica pra fazemos igual ao explo 7 do livro!

Só pra refrecar a memória, lá tínhamos:

x 3 + x 2 + 1 x x - 1 x 2 + x + 1 x 2 + 1 3

E chegamos em:

A x + B x - 1 + C x + D x 2 + x + 1 + E x + F x 2 + 1 + G x + H x 2 + 1 2 + I x + J x 2 + 1 3

A gente divide a função em frações parciais mas aqui o problema não pede pra determinarmos os coeficientes A ,   B ,   C …

Passo 2

Vamos começar pela letra (a):

x x 2 + x - 2

Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não precisamos dividir. A gente só vai fatorar o denominador:

x 2 + x - 2 = x + a x + b

x + a x + b = x 2 + x a + b + a b

Então:

x 2 + x a + b + a b = x 2 + x - 2

Com isso:

a b = - 2

a + b = 1

Resolvendo temos:

a = 2

b = - 1

Esses são nossos números mágicos, podemos reescrever a função:

x x 2 + x - 2 = x x + 2 x - 1

Agora sim, podemos dividir a função em frações parciais:

x x + 2 x - 1 = A x + 2 + B x - 1

Passo 3

Agora a letra (b):

x 2 x 2 + x + 2  

Podemos fazer a mesma coisa:

x 2 + x a + b + a b = x 2 + x + 2

Então:

a b = 2

a + b = 1

Aqui é importante lembrar que a e b devem ser números inteiros. Concorda comigo que não solução pra esse problema?!

Nesse caso a função do denominador é chamada irredutível. Nesse caso fazemos:

x 2 x 2 + x + 2 = A x + B x 2 + x + 2

Prontinho!

Resposta

A x + 2 + B x - 1

A x + B x 2 + x + 2

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Escreva a forma da decomposição em frações parciais. (Não calcule os valores numéricos dos coeficientes.) 5 x x 2 - 4
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Calcule a integral. ∫ x 2 + 1 x - 1 d x
Calcule a integral. ∫ d x x 2 - 3 x - 4
Calcule a integral. ∫ 2 x 2 - 9 x - 9 x 3 - 9 x d x