Enunciado

Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema.

f x = 25 - x 2 ; - 5,3

Passo 1

As hipóteses do teorema são que a função deve ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Vamos ver o gráfico dessa função no intervalo dado:

Como não existem “partes quebradas” na função, ou seja, ao desenhar essa função, não precisamos tirar o “lápis do papel”, podemos dizer que ela é contínua (e fica aí essa dica). Além disso, no intervalo aberto - 5,3 não existem “bicos”, logo não há pontos em que a função não seja diferenciável. Se pegarmos a derivada da função: f ' x = - x 25 - x 2 , vemos que ela está definida para todos os valores de x dentro do intervalo dado - 5,3 .

Com isso, nossas hipóteses estão satisfeitas.

Passo 2

Segundo o Teorema do Valor Médio, as hipóteses sendo verdadeiras, se temos que o valor da função nos extremos do intervalo são iguais, existe ao menos um ponto no meio c em que f ' c = f b - f a b - a , ou seja, queremos que a reta tangente à função nesse ponto c seja paralela à reta que passa entre os pontos a e b . Portanto, a derivada da função no ponto c deve ser igual à da reta que passa por a e b .

Como a = - 5 , f - 5 = 0 , b = 3 e f 3 = 4 . Vamos achar a reta que passe pelos pontos ( - 5,0 ) e ( 3,4 ) . A equação da reta será:

y = a x + b

Substituindo os pontos:

0 = - 5 a + b

E

4 = 3 a + b

Resolvendo o sistema, achamos que:

a = 1 2

E

b = 5 2

Logo, nossa reta será:

y = 1 2 x + 5 2

Passo 3

Agora, queremos que as derivadas da função e da reta sejam iguais, ou seja:

- x 25 - x 2 = 1 2

- 2 x = 25 - x 2

4 x 2 = 25 - x 2

5 x 2 = 25

x = - 5

O x = 5 não entra, pois a derivada nesse ponto é - 1 2 . É só fazer f ' ( 5 ) para provar isso. 😊

Pronto, esse ponto está no intervalo dado e a derivada nele é igual à derivada da reta que passa pelos pontos no extremo, então esse é o nosso cara!

c = - 5

Resposta

c = - 5

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