Enunciado

Nos exercícios 11 a 19, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas.

15. x 2 + y 2 = 8 1 ; z = 2 e z = 100 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Beleza galera !!

Pelo desenho não conseguimos ver o plano z = 100 , mas se lembrem que ele está lá, ok ?!

Eu vou optar por fazer da seguinte maneira, calcular o volume do sólido indo de z = 0 até o plano z = 100 e subtraímos este resultado do volume do sólido indo de z = 0 até z = 2 .

Para o primeiro caso:

0 ≤ z ≤ 100

Para o segundo caso:

0 ≤ z ≤ 2

O raio é o mesmo pelas duas, e delimitado pelo cilindro:

r 2 = 8 1

r = ± 9

Então:

0 ≤ r ≤ 9

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∭ T r . d z . d r . d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 9 ∫ 0 100 d z r . d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 9 ∫ 0 2 d z r . d r d θ

Vamos resolver as duas juntas, tudo bem?

= ∫ 0 2 π ∫ 0 9 100 r . d r d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 9 2 r . d r d θ

= 100 ∫ 0 2 π ∫ 0 9 r . d r d θ - 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 9 r . d r d θ

Sabendo que:

∫ 0 9 r . d r = r 2 2 = 81 2

Sendo assim:

= 100 ∫ 0 2 π 81 2 d θ - 2 ∫ 0 2 π 81 2 d θ

= 4050 ∫ 0 2 π d θ - 81 ∫ 0 2 π d θ

= 4050 - 81 θ

No intervalo:

= 4050 - 81 × 2 π

= 7938 π

Essa foi lega, não é ?!

Resposta

7938 π

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