Enunciado

Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.

2-

O sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo x em x = - 1 e x = 1 .As seções transversais perpendiculares ao eixo x são discos circulares cujos diâmetros se estendem da parábola y = x 2 a parábola y = 2 - x 2

Passo 1

Primeiro vamos calcular a área dessa região formada entre as parábolas:

Como ele disse que os discos são diâmetros dessa região, nós temos:

A = π d 2 4

Onde d é o diâmetro.

Como o diâmetro é formado pela diferença da parábola 2 - x 2 com x 2 temos:

A = π 4 × 2 - x 2 - x 2 2

Arrumando temos nossa área:

A = π 4 2 - 2 x 2 2

Logo:

A = π 4 4 - 8 x 2 + 4 x 4

A = π ( 1 - 2 x 2 + x 4 )

Passo 2

Como as interseções das parábolas se dão em x = - 1 e x = 1 se utilizarmos a integral em x na área teremos o volume.

∫ A = ∫ - 1 1 π 1 - 2 x 2 + x 4 d x

Como π é constante ela sai da integral:

V = π x - 2 x 3 3 + x 5 5 - 1 1

Substituindo temos:

V = π 1 - 2 3 + 1 5 - π - 1 + 2 3 - 1 5

Se invertemos o sinal da primeira parcela temos:

V = π 1 - 2 3 + 1 5 + π 1 - 2 3 + 1 5

O que é:

V = 2 π 1 - 2 3 + 1 5

V = 2 π 15 15 - 10 15 + 3 15

V = 2 π 8 15 = 16 π 15

Resposta

V = 16 π 15

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