Enunciado

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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).

Passo 1

Bom galera, a gente pode notar que o volume de um sólido, que fica entre os planos paralelos x = a e z = b , para t ∈ [ a , b ] , a área da seção transversal do plano é S t , logo:

V s = ∫ a b A s d t

Passo 2

Belezinha, agora a < b , sejam números reais, A e B sejam conjuntos mensuráveis limitados de R 3 , que ficam entre os planos paralelos z = a e z = b , e suponha que A t e B t sejam as seções transversais planas, ∀ t ϵ [ a , b ] , se:

A r e a A t = A r e a B t

Então:

V o l u m e A = V o l u m e ( B )

Logo:

∫ a b A r e a A t d t = ∫ a b A r e a B t d t

Passo 3

Show de bola, dado A r e a A t = A r e a B t , temos que os volumes também são iguais.

Resposta

A r e a A t = A r e a B t

V o l u m e A = V o l u m e ( B )

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