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Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.

6- O sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo x em x = - π / 3 e x = π / 3 . As seções transversais perpendiculares ao eixo x são:

  1. Discos circulares com diâmetros que se estendem da curva y = t g   x a curva y = sec ⁡ x .

Passo 1

A área de um círculo pelo diâmetro é dada por:

A = π d 2 4

E a questão nos fala que esse diâmetro é a diferença ente tangente e secante :

d = t g   x - sec ⁡ x

Fazendo então a área:

A = π t g   x - sec ⁡ x 2 4

Abrindo temos:

A = π ( t g 2 x + sec 2 ⁡ x - 2 t g   x sec ⁡ x ) 4

Como t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1 da relação trigonométrica, logo podemos escrever.

A = π ( sec 2 ⁡ x - 1 + sec 2 ⁡ x - 2 sin ⁡ x cos 2 ⁡ x )   4

A = π 4 ( 2 sec 2 ⁡ x - 2 sin ⁡ x cos 2 ⁡ x - 1 )    

Passo 2

Como nosso intervalo foi definido de - π 3 até π 3 temos:

∫ A = ∫ - π 3 π 3 π 4 ( 2 sec 2 ⁡ x - 2 sin ⁡ x cos 2 ⁡ x - 1 )   d x    

Fazendo a integral de sec 2 ⁡ x temos tan ⁡ x

E fazendo a integral de s i n x × sec 2 ⁡ x temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ s i n x × sec 2 ⁡ x = sin ⁡ x   t g x - ∫ t g   x cos ⁡ x

Onde u = s i n x   ;     v = sec ⁡ x

O que dá:

∫ sin ⁡ x × sec 2 ⁡ x = sin ⁡ x   t g x - ∫ s i n x = sin 2 ⁡ x cos ⁡ x + cos ⁡ x

∫ sin ⁡ x × sec 2 ⁡ x = sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x cos ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Substituindo esses resultados na integral temos:

V = π 4 2 tan ⁡ x - x - 2 cos ⁡ x - π 3 π 3

Passo 3

Aplicando o intervalo temos:

V = π 4 2 tan ⁡ π 3 - π 3 - 2 cos ⁡ π 3     - π 4 2 tan ⁡ + π 3 + π 3 - 2 cos ⁡ - π 3

Fazendo as contas temos:

V = π 4 2 3 - π 3 - 2 1 2 - π 4 - 2 3 + π 3 - 2 1 2

Juntando os termos temos:

V = π 4 4 3   - 2 π 3

Resposta

V = π 4 4 3   - 2 π 3

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