Enunciado

Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. A região limitada pelo eixo y e pela curva x = y - y 3 , 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Pode parecer estranho pois estamos acostumados a fazer as contas com funções de x e não de y mas é a mesma coisa, só que deitado. A questão ainda foi boa pois nos deu o intervalo.

A função cruza o eixo y com x = 0 .

y - y 3 = 0

Em y = 0 e:

1 - y 2 = 0

y = ± 1

Como o intervalo conta somente o 1 positivo vai ser essa região que vamos considerar.

Por mais que pareça mas não temos simetria nessa questão então temos que calcular x - e y - .

Passo 2

Fazendo o comprimento da linha horizontal temos:

L = y - y 3

A sua largura seria d y logo sua área será:

d A = y - y 3 d y

E sua massa será de:

d m = δ y - y 3 d y

Seu x médio será de:

x m = y - y 3 2

E seu y médio de:

y m = y

Passo 3

Fórmulas de y - e x - .

x - = M y M

y - = M x M

Calculando M :

M = ∫ 0 1 δ y - y 3 d y → δ y 2 2 - y 4 4 0 1 → δ 1 2 - 1 4 = δ 4

Calculando M y temos:

M = ∫ 0 1 δ y - y 3 y - y 3 2 → δ 2 ∫ 0 1 y 2 - 2 y 4 + y 6 d y

M y = δ 2 y 3 3 - 2 y 5 5 + y 7 7 0 1 = δ 2 1 3 - 2 5 + 1 7 = 4 δ 105

Agora calculando M x :

M x = δ ∫ 0 1 y y - y 3 d y → δ ∫ 0 1 y 2 - y 4 d y → δ y 3 3 - y 5 5 0 1 → δ 1 3 - 1 5 = 2 δ 15

Passo 4

Calculando x - .

x - = 4 δ 105 δ 4 = 16 105

Calculando y - .

y - = 2 δ 15 δ 4 = 8 δ 15

Resposta

Centro de Massa:

x - , y - = 16 105 , 8 15

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