Enunciado

Calcule a integral

int (d x)/(2 sqrt(x) + 2 x)

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int (d x)/(2 sqrt(x) + 2 x)

Hum. Temos uma integral aparentemente complicada. Polinômio e raiz no denominador e uma constante no numerador. Nada nos vêm à cabeça neste momento. O que devemos fazer nesses momentos? “Brincar”. Vamos remodelar a nossa função e ver o que acontece com ela. Por exemplo, vamos colocar 2 sqrt(x) em evidência no denominador.

int (d x)/(2 sqrt(x) + 2 x) = int (d x)/(2 sqrt(x) (1 + sqrt(x)))

Agora já temos algo. Se fizermos uma mudança de variáveis, chamar u = 1 + sqrt(x) , consequentemente, temos d u = d x // ( 2 sqrt(x) ) . Fazendo esta substituição, obtemos a seguinte integral indefinida.

int (d x)/(2 sqrt(x) (1 + sqrt(x))) = int (d u)/(u)

Agora, conseguimos uma função facilmente integrável.

Passo 3

Portanto, temos que resolver a integral indefinida acima. Desta forma, temos:

int (d u)/(u) = ln |u| + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln |u| + k = ln |1 + sqrt(x)| + k

Portanto, a integral indefinida do nosso problema possui a seguinte resolução:

int (d x)/(2 sqrt(x) + 2 x) = int (d x)/(2 sqrt(x) (1 + sqrt(x))) = ln |1 + sqrt(x)| + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k ! Como estamos resolvendo uma integral indefinida, não podemos esquecer dele viu!

Resposta

int (d x)/(2 sqrt(x) + 2 x) = ln |1 + sqrt(x)| + k

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