Calcule a integral

∫ d x 2 x + 2 x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ d x 2 x + 2 x

Hum. Temos uma integral aparentemente complicada. Polinômio e raiz no denominador e uma constante no numerador. Nada nos vêm à cabeça neste momento. O que devemos fazer nesses momentos? “Brincar”. Vamos remodelar a nossa função e ver o que acontece com ela. Por exemplo, vamos colocar 2 x em evidência no denominador.

∫ d x 2 x + 2 x = ∫ d x 2 x 1 + x

Agora já temos algo. Se fizermos uma mudança de variáveis, chamar u = 1 + x , consequentemente, temos d u = d x / ( 2 x ) . Fazendo esta substituição, obtemos a seguinte integral indefinida.

∫ d x 2 x 1 + x = ∫ d u u

Agora, conseguimos uma função facilmente integrável.

Passo 3

Portanto, temos que resolver a integral indefinida acima. Desta forma, temos:

∫ d u u = ln ⁡ u + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln ⁡ u + k = ln ⁡ 1 + x + k

Portanto, a integral indefinida do nosso problema possui a seguinte resolução:

∫ d x 2 x + 2 x = ∫ d x 2 x 1 + x = ln ⁡ 1 + x + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k ! Como estamos resolvendo uma integral indefinida, não podemos esquecer dele viu!

Resposta

∫ d x 2 x + 2 x = ln ⁡ 1 + x + k

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