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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 3.8 - Ex. 40

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Nos Exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

39.

y = ln ⁡ x + 1 5 x + 2 20

Passo 1

Essas questões aqui não tem segredo, é só aplicar as regras de derivada bem certinho e cuidar pra não esquecer de nada que vai dar certo. Nesse caso aqui a gente precisa da regra da cadeia:

Então a gente faz a derivada do que está fora, dai multiplica pela derivada do de dentro:

A derivada de ln ⁡ x é igual a 1 / x então:

y ' = 1 x + 1 5 x + 2 20 ⋅ d d x x + 1 5 x + 2 20

Vamos usar mais uma vez a regra da cadeia:

d d x x + 1 5 x + 2 20 = 1 2 ⋅ x + 1 5 x + 2 20 ⋅ d d x x + 1 5 x + 2 20

Passo 2

As regras da cadeia são fáceis de fazer, o mais chatinho vai ser aplicar a regra do quociente pra essa função que estava dentro da raiz:

d d x x + 1 5 x + 2 20 = x + 2 20 d d x x + 1 5 - x + 1 5 d d x x + 2 20 x + 2 20 2

d d x x + 1 5 x + 2 20 = x + 2 20 d d x x + 1 5 - x + 1 5 d d x x + 2 20 x + 2 40

Passo 3

Vamos calcular d d x x + 2 20 . Perceba que vamos ter que usar a regra da cadeia, novamente, para esse termo:

d d x x + 2 20 = 20 x + 2 19 ⋅ d d x x + 2

d d x x + 2 20 = 20 x + 2 19 ⋅ 1 + 0

d d x x + 2 20 = 20 x + 2 19

Mesma coisa vai acontecer para d d x x + 1 5 :

d d x x + 1 5 = 5 x + 1 4 ⋅ d d x x + 1

d d x x + 1 5 = 5 x + 1 4 ⋅ 1 + 0

d d x x + 1 5 = 5 x + 1 4

Passo 4

Agora que temos os valores das duas derivadas que estavam faltando, vamos terminar de fazer as contas:

d d x x + 1 5 x + 2 20 = x + 2 20 ⋅ 5 x + 1 4 - x + 1 5 ⋅ 20 x + 2 19 x + 2 40

Então

d d x x + 1 5 x + 2 20 = 1 2 ⋅ x + 1 5 x + 2 20 ⋅ x + 2 20 ⋅ 5 x + 1 4 - x + 1 5 ⋅ 20 x + 2 19 x + 2 40

E finalmente:

y ' = 1 x + 1 5 x + 2 20 ⋅ 1 2 ⋅ x + 1 5 x + 2 20 ⋅ x + 2 20 ⋅ 5 x + 1 4 - x + 1 5 ⋅ 20 x + 2 19 x + 2 40

Ta bem feio isso ai, mas de boa só seguir o passo a passo, ter calma que vai dar certo.

Passo 5

Vamos simplificar esse monstrinho:

Multiplicando o que esta fora:

y ' = 1 2 ⋅ x + 1 5 x + 2 20 ⋅ x + 2 20 ⋅ 5 x + 1 4 - x + 1 5 ⋅ 20 x + 2 19 x + 2 40

y ' = x + 2 20 2 x + 1 5 ⋅ x + 2 20 ⋅ 5 x + 1 4 - x + 1 5 ⋅ 20 x + 2 19 x + 2 40

Vamos multiplicar mais uma vez, mas a gente vai cortar várias coisas depois:

y ' = x + 2 40 ⋅ 5 x + 1 4 - x + 1 5 ⋅ 20 x + 2 39 2 x + 1 5 ⋅ x + 2 40

Agora sim, vamos separar em duas frações menorzinhas e cortar os termos em comum:

y ' = x + 2 40 ⋅ 5 x + 1 4 2 x + 1 5 ⋅ x + 2 40 - x + 1 5 ⋅ 20 x + 2 39 2 x + 1 5 ⋅ x + 2 40

y ' = 5 2 x + 2 - 1 0 x + 2

Resposta

y ' = 5 2 x + 2 - 1 0 x + 2

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