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Ache uma equação de reta tangente ao gráfico da função seno no ponto

  1. x = 0
  2. x = π 3
  3. x = π

Passo 1

Bom, a questão pede para encontrarmos a reta tangente, ou seja, a reta que encosta em um único ponto da função no gráfico:

, no caso da letra a) esse ponto é x = 0 . O valor da função nossa função nesse ponto é:

f x = s e n x

f 0 = s e n 0 = 0

Passo 2

Agora que já sabemos os valores de x e y no gráfico, devemos encontrar a inclinação dessa reta. Para isso calculamos o valor da derivada nesse mesmo ponto:

f ' x = c o s x

No ponto x = 0 :

f ' 0 = c o s 0 = 1

Passo 3

Já temos tudo para escrever a equação da reta que passa no ponto (0,0) da nossa função seno, a equação da reta tem a forma:

y - y p = T ( x - x p )

Onde T é o valor da inclinação da reta que calculamos antes, que no caso do item a) é 1, e x p e y p são as coordenadas do ponto que encontramos onde passa a reta, nossa equação então fica:

y - 0 = 1 ( x - 0 )

E isso é:

y = x

E a reta no gráfico ficará assim:

Passo 4

Para as letras b) e c) repetimos o mesmo processo, a letra b) o valor da função em que x = π 3 é

f π 3 = s e n   π 3 =   3 2

E a inclinação, calculada pela derivada da função:

f ' π 3 = cos ⁡ π 3 =   1 2

Tendo o valor da inclinação e do ponto   π 3 ,     3 2 , já podemos escrever a equação da reta:

y - 3 2 =   1 2 x - π 3

Passo 5

E por fim, na letra c), com x =   π a função fica:

f π = s e n π =   0

E a inclinação, será:

f ' π = c o s π =   - 1

E a equação da reta tangente ao ponto   0 ,     - 1 será:

y = - 1 x - π

y = π - x

Resposta

  1. y = x
  2. y - 1 2 3 = 1 2 x - 1 3 π
  3. y =   π - x

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