Enunciado

Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos.

12 .     6 x 2 + 20 3 x y + 26 y 2 = 324

Passo 1

Para efetuar a rotação, vamos usar os seguintes fatos:

  1. Se ( x , y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - , y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então
  2. x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

  3. Se B ≠ 0 , a equação A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 pode ser transformada na equação A - x - 2 + B - y - 2 + C - x - + D - y - + F - = 0 onde A - e C - não são ambos nulos, por uma rotação de eixos de ângulo α para o qual tan ⁡ 2 α = B A - C .

Nós temos a equação 6 x 2 + 20 3 x y + 26 y 2 = 324 e vamos remover o termo x y , então vamos utilizar a fórmula de (2).

tan ⁡ 2 α = B A - C = 20 3 6 - 26 = - 3 1

Passo 2

Agora para usar o fato 1 precisamos achar sen ⁡ α e cos ⁡ α . Usaremos as relações:

cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ 2 α 2                             sen ⁡ α = 1 - cos ⁡ 2 α 2                         0 < α < π 2  

Queremos α ∈ 0 , π 2 , daí, como 0 < 2 α < π e tan ⁡ 2 α < 0 , então 2 α pertencerá ao segundo quadrante e com tan ⁡ 2 α = 3 - 1 , podemos montar o seguinte triângulo e achar as relações.

O b s : Se no triângulo imaginário acima a gente utilizasse - 3 , também faríamos uma rotação correta, porém α iria pertencer ao segundo quadrante e basicamente seria a rotação que vamos fazer mais um ângulo de 90 ° .

Com cos ⁡ 2 α = - 1 2 , temos:

cos ⁡ α = 1 - 1 2 2                             sen ⁡ α = 1 + 1 2 2

cos ⁡ α = 1 2 2 = 1 2                             sen ⁡ α = 3 2 2 = 3 2

Passo 3

Agora vamos usar os dados acima para trocar as coordenadas com a fórmula:

x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

x = x - 1 2 - y - 3 2                         y = x - 3 2 + y - 1 2

Substituindo na nossa equação, ficamos com:

6 x - 1 2 - y - 3 2 2 + 20 3 x - 1 2 - y - 3 2 x - 3 2 + y - 1 2   + 26 x - 3 2 + y - 1 2 2 = 324

Simplificando essa expressão, nós obtemos a equação:

9 x - 2 - y - 2 = 81         →         9 x - 2 81 - y - 2 81 = 1     →         x - 2 9 - y - 2 81 = 1    

Que é a equação de uma hipérbole com centro na origem e sem o termo x y .

Passo 4

Como cos ⁡ α = 1 2 , então o ângulo de rotação foi α = 60 ° . Sendo assim, segue o esboço da hipérbole com o eixo OXY e os eixos rotacionados 60 ° .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 5 x 2 + 4 x y + 2
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 2 x y + 5 = 0
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 4 = 0
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 - 6 x + 4 y + 13 = 0
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 - y 2 - 2 x - 2 y = 0