Enunciado

Prove que o teorema 2.4 . 4 i i :

Se a for um número real qualquer e se lim x → a ⁡ f x = 0 e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é uma constante não nula, então

Se c > 0 e se f x → 0 por valores negativos de f x ,

lim x → a ⁡ g x f x = - ∞

Passo 1

Temos que mostrar que:

Para todo N < 0 existe δ > 0 tal que:

s e   0 < x - a < δ   e n t ã o g x f x   < N

Para isso temos que lembrar a definição formal de limite:

lim x → a ⁡ f x = L

Quando:

Dado ϵ > 0 qualquer, existe um δ > 0 tal que

0 < x - a < δ ⇒ f x - L < ϵ

Mo coisa dois né? Mas vamos com calma que vamos entender isso. Ele disse que para qualquer ϵ positivo, vai existir outro número, o δ , que todo número que estiver a uma distância menor que δ de a vai ter o seu valor na função a um distância menor de ϵ do limite L .

Passo 2

Ele deu dois limites:

lim x → a ⁡ f x = 0

lim x → a ⁡ g x = c

Assim, vamos ter

Dado ϵ > 0 qualquer, existe um δ 1 > 0 e δ 2 > 0 tal que

0 < x - a < δ 1 ⇒ f x < ϵ

0 < x - a < δ 2 ⇒ g x - c < ϵ

Vamos pegar a parte com as funções:

f x < ϵ

g x - c < ϵ

Ele disse que f x se aproxima de 0 por valores negativos de f x , então:

f x = - f x

Teremos:

- f x < ϵ

Multiplicando por - 1

f x > - ϵ

Vamos abrir o módulo da outra função

g x - c < ϵ

- ϵ < g x - c < ϵ

- ϵ + c < g x < ϵ + c

Passo 3

Agora, vamos tentar achar o g x f x

- ϵ + c < g x < ϵ + c

f x > - ϵ

Invertendo os termos nessa segunda inequação:

1 f x < - 1 ϵ

Antes de multiplicarmos por g x , devemos garantir que - ϵ + c seja positivo. Como o ϵ pode ser qualquer valor já que é um dado que o limite exite, vamos pegar

ϵ = c 2

Assim, temos

g x > c 2

E como c > 0 , podemos multiplicar sem alterar a inequação.

g x f x > - c 2 ϵ

Basta pegarmos

N = - c 2 ϵ

Que é menor que 0

Passo 4

Agora vamos juntar tudo:

Dado ϵ > 0 qualquer, existe um δ 1 > 0 e δ 2 > 0 tal que

0 < x - a < δ 1 ⇒ f x < ϵ

0 < x - a < δ 2 ⇒ g x - c < ϵ

Chegamos em:

0 < x - a < δ 1 ,     0 < x - a < δ 2 ⇒ g x f x < - c 2 ϵ

Para juntar as duas inequações de δ 1 e δ 2 , pegamos o menor valor dos dois, porque assim isso vai garantir as duas inequações.

δ = min ⁡ δ 1 , δ 2

Assim:

0 < x - a < δ ⇒ g x f x < - c 2 ϵ

Tomando

N = - c 2 ϵ

Temos uma relação direta, então para todo N menor que 0 , garantimos que

0 < x - a < δ ⇒ g x f x < N

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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