Enunciado

Nos exercícios de 13 a 16 , ache a área de intersecção das regiões limitadas pelos gráficos das duas equações dadas.

r = 3 sen ⁡ 2 θ r = 3 cos ⁡ 2 θ

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar os pontos de intersecção das duas curvas bem como, quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

A Primeira região de intersecção é limitada por uma curva com θ inde de 0   a t é π 8 e por outra curva como θ indo de π 8   a t é   π 4 . Sendo assim, a área de intersecção pode ser calculada levando em conta essas variações do ângulo e multiplicada por 8, que é a quantidade de vezes que a região se repete.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 8 . [ 1 2 ∫ 0 π 8 3 s e n 2 θ 2 d θ + 1 2 ∫ π 8 π 4 3 c o s 2 θ 2 d θ ] =

4 ∫ 0 π 8 9 s e n 2 2 θ d θ + 4 ∫ π 8 π 4 9 cos 2 ⁡ 2 θ d θ ] = 18 . ∫ 0 π 8 ( 1 - c o s 4 θ ) d θ + 18 ∫ π 8 π 4 ( 1 + c o s 4 θ ) d θ ] =

= 18 θ - 1 4 s e n 4 θ 0 π 8 + 18 θ + 1 4 s e n 4 θ π 8 π 4 = 9 π 2 - 9

Resposta

A = 9 π 2 - 9

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