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Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar dada.

18. r = 2 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ

Passo 1

Queremos encontrar uma equação cartesiana para a curva com equação . r = 2 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ

Sabemos que a relação entre as coordenadas cartesiana e polar de uma figura é que x = r cos ⁡ θ   e y = r   s e n θ e também, que r 2 = x 2 + y 2

Bom, vamos pegar a equação r = 2 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ e multiplicar ambos os lados por r , pois assim teremos como trocar alguns termos:

r = 2 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ

r 2 = 2 r sen ⁡ θ + 2 r cos ⁡ θ

x 2 + y 2 = 2 y + 2 x

Agora vamos agrupar os termos de x e os de y :

x 2 - 2 x + y 2 - 2 y = 0

E agora podemos completar quadrado:

x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 - 2 y + 1 - 1 = 0

x - 1 2 + y - 1 2 = 2

E aí está nossa equação! Este é um círculo de raio 2   e centro C = ( 1,1 )

Resposta

x - 1 2 + y - 1 2 = 2

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