Enunciado

Nos exercícios 14 e 15 , despreze a resistência do ar e tome g = 10   m / s 2 .

Todos sabem que David matou Golias com uma pedrada, bem certeira, arremessada por uma funda. O que nem todos sabem é que David estava a 50,4 metros de Golias no momento em que a pedra foi arremessada, e que este corria na direção de David a 4   m / s . Determine as equações paramétricas da trajetória da pedra de David, sabendo que ela foi lançada a 45 o com a horizontal. Qual a distância entre David e Golias quando a pedra atingiu Golias? (considere desprezível a altura dos dois).

Passo 1

Beleza galera, vamos lá. Pra começar, vamos considerar o seguinte, seja a parametrização da posição da pedra:

σ P t = x t , y t

Temos também:

V P t = σ P ' t = x ' t , y ' t

A P t = σ P ' ' t = x ' ' t , y ' ' t

Partindo da última equação, seja F = m A , como a única aceleração que temos é o da gravidade:

F = 0 , - m g

F = m A = m x ' ' t , y ' ' t = m x ' ' , m y ' '

Logo:

0 , - m g = m x ' ' , m y ' '

m x ' ' = 0 m y ' ' = - m g

x ' ' = 0 y ' ' = - 10

Começando com x ' ' t = 0 . Isso só é possível se x ' t = C . Seja a velocidade da pedra:

V P t = σ P ' t = x ' t , y ' t = v o cos ⁡ 45 o , v o sen ⁡ 45 o = v o 2 2 , v o 2 2

Onde v o é o módulo da velocidade inicial de lançamento (que o enunciado não deu). Temos então que:

C = v o 2 2

x ' t = v o 2 2

Seguindo a mesma lógica da segunda derivada pra primeira, fazemos agora pra primeira. Somente uma reta é capaz de ter derivada constante. Logo:

x t = v o 2 2 t + x o

Onde x o é a posição inicial da pedra. Agora pra equação y ' ' = - 10 , podemos seguir a mesma lógica e:

y ' t = - 10 t + C

y ' 0 = C = v o 2 2

y ' t = - 10 t + v o 2 2

Mais uma vez, agora pra achar a posição y , temos:

y ' t = - 10 t + v o 2 2

y t = - 5 t 2 + v o 2 2 t + y o

Onde y o também diz respeito a posição inicial da pedra. A parametrização final do vetor posição da pedra é:

σ P t = v o 2 2 t + x o         ,         - 5 t 2 + v o 2 2 t + y o

Passo 2

Agora vamos responder a segunda coisa que o enunciado pediu. Olha, como a gente quer saber distâncias, vamos olhar só pra:

σ P t = v o 2 2 t + x o         ,         - 5 t 2 + v o 2 2 t + y o

x P t =   v o 2 2 t + x o

Considerando que a pedra e David estavam no mesmo lugar no instante inicial e sendo essa a origem do movimento, simplificamos x o = 0 e logo:

x P t =   v o 2 2 t

Show, agora vamos parametrizar x G t , a posição de Golias. Como ele tava andando na direção do David a uma velocidade constante, temos que:

v G = d x G d t = - 4

x G t = - 4 t + C

Antes dele começar a correr, ele estava a 50,4   m de David, logo:

x G 0 = C = 50,4

x G t = - 4 t + 50,4

Beleza, mas qual será o instante de tempo em que a pedra e Golias tem a mesma posição? Pra isso basta fazer:

x P t = x G t

v o 2 2 t = - 4 t + 50,4

v o 2 t = - 8 t + 100,8

v o 2 + 8 t = 100,8

t P → G = 100,8 v o 2 + 8

E como a posição do David é fixa em x = 0 , a posição do Golias x G t P → G já é a distância D que queremos entre David e Golias! Ou seja, vamos ter:

D = x G t P → G

D = - 4 100,8 v o 2 + 8 + 50,4

D = - 403,2 v o 2 + 8 + 50,4 = - 403,2 v o 2 + 8 + 50,4 v o 2 + 403,2 v o 2 + 8

D = 50,4 ∙ v o ∙ 2 v o ∙ 2 + 8

Resposta

  1. σ P t = v o 2 2 t + x o         ,         - 5 t 2 + v o 2 2 t + y o
  2. D =   50,4 ∙ v o ∙ 2 v o ∙ 2 + 8   m
  • O enunciado não fornece informações o suficiente pra determinar x o , y o , v o
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