Enunciado

Nos exercícios 14 e 15 , despreze a resistência do ar e tome g = 10   m / s 2 .

Uma menina atira uma bola horizontalmente do topo de um penhasco de 80   metros de altura, com uma velocidade inicial de 50   m / s . Calcule: (a) o tempo de trajeto da bola e (b) a distância desde a base do penhasco até o ponto em que a bola atinge o solo.

Passo 1

Show galera. Num lançamento horizontal, podemos resumir os vetores envolvidos na seguinte imagem:

Seja o vetor posição σ t = x t , y t , pra gente montar ele, vamos pensar em cada eixo. O eixo x não possui aceleração, mas possui velocidade constante:

v x = d x d t = 50

Oras galera, derivada constante? Só é possível se:

x t = 50 t + C 1

Se no intante inicial a bola está no mesmo lugar da menina, estabelecendo ela como x = 0 temos:

x 0 = C 1 = 0

x t = 50 t

Agora pro eixo y , temos aceleração constante:

a = d v y d t = - g = - 10

Manipulando:

v y t = - 10 t + C 2

No instante inicial a bola ainda tá na mão da menina, então a gravidade não começou a atuar ainda. Logo:

v y 0 = C 2 = 0

v y t = - 10 t

Seguindo essa lógica de novo pra achar y t , temos:

v y = d y d t = - 10 t

y t = - 5 t 2 + C 3

No instante inicial a bola está a 80 m de altura, então:

y 0 = C 3 = 80

y t = - 5 t 2 + 80

E o vetor posição é:

σ t = 50 t , - 5 t 2 + 80

Passo 2

Show, agora vamos responder as letras (a) e (b) com base no vetor posição. Galera, vou chamar de A o alcance da bolinha em relação a menina. Sendo assim, a posição final desse movimento vai ser:

σ t f i n a l = A , 0

Pra achar t f i n a l basta igualar ao vetor posição:

50   t f i n a l , - 5 t f i n a l 2 + 80 = A , 0

50   t f i n a l = A - 5 t f i n a l 2 + 80 = 0

Continuando a manipulação, temos:

50   t f i n a l = A 80 = 5 t f i n a l 2

50   t f i n a l = A 16 = t f i n a l 2

50   t f i n a l = A 4 = t f i n a l

50   ∙ 4 = A 4 = t f i n a l

200 = A 4 = t f i n a l

Feshow galera, com as unidades de medida, temos:

A = 200   m t f i n a l = 4   s

Resposta

A = 200   m t f i n a l = 4   s

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