Mostre que, para 0<= x <= 1 :

0e <= e^x -1 + x + (x^2 / 2) x^3 / 2

Passo 1

A série de Taylor para exponenciais é:

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … ,     - ∞ < x < ∞

Como,

0 ≤ x ≤ 1 →   e x ≥ 0

Ou seja, o resultado da nossa exponencial sempre é um número positivo.

Passo 2

Agora manipular a equação acima até chegar numa expressão como a do enunciado!

Partindo de,

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 !

Podemos isolar a parte x 3 3 !

e x   –   1   – x 1 ! -   x 2 2 !   = x 3 3 !

Como 0 ≤ x ≤ 1 :

e x   –   1   – x 1 ! -   x 2 2 !   ≤ x 3 3 !

Como x 3 3 !   ≤   x 3 2 , o sinal de igual deve sumir, pois agora a expressão será sempre menor que x 3 2

0 < e x   –   1   – x 1 ! -   x 2 2 !   < x 3 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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