Enunciado

Nos exercícios de 2 a 15 :

  1. Determine os traços
  2. Determine as seções
  3. Identifique a superfície quadrica
  4. Esboce os gráficos

5.

4 x 2 - 9 y 2 - z 2 = 36

Passo 1

Oii, neste capitulo vamos usar tudo o que sabemos de Geometria Analitica. Vamos arregaçar as mangas e rabiscar bastante no caderno. Vamos lembrar de algumas coisas basicas. Podemos expressar formar geometricas atraves de equações matematicas. E cada equação, mesmo que mude apenas um sinal de + ou – , vai nos dizer um comportamento geometrico diferente. POr exemplo temos essas equações

y = a x 2 → Parábola

x 2 + y 2 = a 2 → Circulo

Agora se colocarmos um fator multiplicando x ou y esse circulo vai se achatar ficando oval. Chamamos isso de elipse. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

a x 2 + b y 2 = c

Ou,

x α 2 + y β 2 = 1

Onde no segundo caso vemos de forma mais clara os raios de x e y. O raio de x será a e o raio de y será b .

Agora, se trocarmos o sinal da equação geral da elispse, obtemos uma hiperbole. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos

a x 2 - b y 2 = c

Ou,

x α 2 - y β 2 = 1

É interessante notar que se botarmos num mesmo plano as equações

x α 2 - y β 2 = 1

e

x α 2 + y β 2 = 1

Vemos o seguinte resultado

É como se o sinal forçasse a concavidade das curvas virar para dentro ou para fora. Para dentro elas se unem numa elipse e para fora as curvas explodem para infinito dando forma as hiperboles.

Passo 2

Vimos nos exercícios anteriores que nossa quadrica

4 x 2 - 9 y 2 - z 2 = 36

Se olharmos pra cada plano coordenado veríamos as seguintes curvas

Plano XY, o que nos da z = 0

4 x 2 - 9 y 2 = 36

Que é uma equação de uma hipérbole.

Plano ZY, o que nos da x = 0

- 9 y 2 - z 2 = 36

O que não forma imagem. Afinal não tem como dois números negativos subtraídos ter como resultado um numero positivo. OU de outra maneira

9 y 2 + z 2 =   - 36

Do lado esquerdo temos uma equação de elipse. E não tem como elipse ter raio negativo. Então não forma imagem no plano ZY.

Já no plano XZ temos que y = 0

4 x 2 - z 2 = 36

Que é uma equação de hipérbole.

Passo 3

E também vimos que as curvas de nível dessa quadrica nos dão o seguinte formato

Logo podemos notar que temos em mãos um hiperboloide. E como há essa vazio no meio, as duas partes desse hiperboloide são desconectadas. Com isso podemos afirmar que essa quadrica é um hiperboloide de duas folhas

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

4 x 2 - 9 y 2 - z 2 = 36

Hiperboloide de duas folhas

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